Posição do oscilador amortecido
Com amplitude 1, taxa de decaimento 0,2, frequência angular 2 e fase 0, a posição no instante 1 é −0,340712212877 dentro de uma envoltória de 0,818730753078. Informe os cinco valores para avaliar o cosseno amortecido em qualquer momento. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Amplitude
- 1
- Taxa de decaimento
- 0,2
- Ômega
- 2
- Fase
- 0
- Tempo
- 1
- Envoltória
- 0,8187307531
- Argumento
- 2
- Posição
- -0,3407122129
Osciladores harmônicos subamortecidos aparecem onde uma força restauradora compete com atrito leve: amortecedores massa-mola, circuitos RLC reescritos como EDO de segunda ordem, instrumentos sísmicos e todo curso de equações diferenciais que trata vibração livre. A posição em forma fechada é uma senóide com decaimento exponencial, não um seno puro, de modo que o cálculo manual mistura um envelope exponencial com o cosseno da frequência amortecida e da fase. Esta calculadora de posição do oscilador amortecido aceita a amplitude A, a taxa de decaimento β, a frequência angular amortecida ω, a fase φ em radianos e o tempo t, e devolve a posição numérica junto com o envelope e o argumento do cosseno.
A forma fechada subamortecida e o significado de cada símbolo
Nesse regime a frequência natural ω₀ é a raiz quadrada de k sobre m, a taxa de decaimento β vale ζ ω₀ (ou c sobre 2m na notação viscosa), e a frequência angular amortecida ω é ω₀ vezes a raiz de um menos ζ ao quadrado.
A posição de resposta livre que satisfaz as condições iniciais sempre pode ser escrita como x de t igual a A vezes e elevado a menos β t vezes o cosseno de ω t mais φ, onde A e φ absorvem o deslocamento e a velocidade iniciais. A amplitude A pode ser positiva ou negativa e apenas escala todo o movimento. A taxa β deve ser não negativa para que o envelope encolha ou permaneça constante, em vez de explodir.
A frequência angular ω deve ser estritamente positiva para que o movimento seja de fato oscilatório; os casos crítico e superamortecido usam outras fórmulas exponenciais reais e ficam fora do escopo. A fase φ é medida em radianos, como nos manuais de cálculo e física, e o tempo t pode ser qualquer real finito para que você avalie amostras passadas ou futuras em uma malha de simulação.
Casos de uso
Checagens de vibração livre em sala
Permita que estudantes enviem A, β, ω, φ e t para x(t) subamortecido e verifiquem a posição, o envelope e o argumento do cosseno em relação aos métodos do livro.
Correção automática LMS e de provas
Corrija itens de oscilador subamortecido com um oráculo determinístico que rejeita taxas de decaimento negativas e ω não positiva como entrada inválida.
Cadernos de projeto e amostragem de folgas
Amostre a resposta livre amortecida em forma fechada em uma malha temporal ao dimensionar amortecedores ou checar envelopes mecânicos sem um integrador de EDO completo.
Perguntas frequentes
O que acontece se omega for zero ou negativo?
A oscilação subamortecida exige frequência angular amortecida ω positiva para que o cosseno oscile em tempo real.
A fase é em graus ou em radianos?
Apenas em radianos, como na notação padrão de cálculo e física para cos(ωt+φ). Converta graus em radianos antes de chamar se seus dados estiverem em graus.
Como obter a taxa de decaimento e a frequência a partir de massa, amortecimento e rigidez?
A frequência natural é a raiz quadrada de k sobre m, a taxa de decaimento é c dividido por duas vezes m, e a frequência amortecida é a natural vezes a raiz de um menos o quadrado da razão de amortecimento. Informe aqui esses valores já reduzidos.
O que é a envoltória no resultado?
É a amplitude vezes e elevado a menos a taxa de decaimento vezes o tempo: o limite decrescente dentro do qual o cosseno oscila. Com amplitude 1 e taxa 0,2, ela vale 0,818730753078 no instante 1, e a posição é a envoltória vezes o cosseno.
Posso calcular a posição num tempo negativo?
Sim. O tempo pode ser qualquer número real finito, então dá para amostrar instantes passados ou futuros numa grade de simulação. A amplitude também pode ser negativa ou zero; ela só escala o movimento inteiro.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/damped-oscillator-position \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"amplitude":1,"decay_rate":0.2,"omega":2,"phase":0,"time":1}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/damped-oscillator-position", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"amplitude": 1,
"decay_rate": 0.2,
"omega": 2,
"phase": 0,
"time": 1
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/calculus/damped-oscillator-position",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"amplitude": 1,
"decay_rate": 0.2,
"omega": 2,
"phase": 0,
"time": 1
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/damped-oscillator-position", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"amplitude":1,"decay_rate":0.2,"omega":2,"phase":0,"time":1}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"amplitude":1,"decay_rate":0.2,"omega":2,"phase":0,"time":1}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/damped-oscillator-position", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"amplitude": 1,
"decay_rate": 0.2,
"omega": 2,
"phase": 0,
"time": 1
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "calculus.damped_oscillator_position",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Taxas de decaimento inválidas ou ω não positiva falham com invalid_input em vez de inventar uma resposta crescente ou não oscilatória.
A forma fechada subamortecida e o significado de cada símbolo
Um sistema linear massa-mola-amortecedor com equação mẍ + cẋ + kx = 0 está subamortecido quando a razão de amortecimento ζ é estritamente menor que um. Este endpoint não resolve de novo a equação característica a partir de m, c e k; ele avalia essa solução subamortecida já reduzida no instante escolhido.
Contrato de entrada, campos de resposta e erros de validação
Se omega for zero ou negativo, o movimento não é uma oscilação subamortecida com frequência amortecida real, de modo que a chamada falha em vez de devolver uma exponencial pura ou um cosseno complexo. No sucesso o corpo ecoa as cinco entradas e adiciona envelope igual a A vezes e a menos β t, argument igual a ω t mais φ em radianos, position igual ao envelope vezes o cosseno do argumento, e uma string formula que reescreve x de t igual a A e a menos β t vezes cosseno de ω t mais φ. Envie por POST um corpo JSON com cinco números finitos obrigatórios: amplitude, decay_rate, omega, phase e time. Cada campo pode chegar como número JSON ou como string numérica; campos ausentes, strings vazias e valores não finitos falham com invalid_input nomeando o campo. Os padrões de exemplo amplitude um, decay_rate zero vírgula dois, omega dois, phase zero, time um produzem uma amostra de cosseno amortecido que você pode verificar com qualquer calculadora científica. Validação falha não é cobrada; chamadas parse bem-sucedidas usam o preço base publicado US$ 0,002 sem tokens de modelo nem rede de saída.
Onde uma API de posição do oscilador amortecido rende valor
Salas de aula e plataformas de tutoria usam uma calculadora de posição do oscilador amortecido para que estudantes confiram a lição de vibração livre sem deslocar o fator de decaimento ou converter graus de fase por engano. Scripts de instrumentação que convertem ζ e ω₀ medidos em β e ω ainda podem chamar esta capacidade depois que esses parâmetros são conhecidos, mantendo o núcleo numérico pequeno e testável. Geradores de prova e plugins LMS precisam de um oráculo determinístico que rejeite ω não positiva e β negativa em vez de devolver em silêncio um payload de sucesso sem sentido. Cadernos de projeto mecânico amostram x de t ao longo de uma malha temporal ao dimensionar amortecedores e checar folgas antes do CAD; um endpoint parse minúsculo evita puxar um solucionador de EDO completo para uma única avaliação em forma fechada. Como a implementação é parse puro tier A, cada chamada bem-sucedida custa o US$ 0,002 publicado sem medição de tokens.
Perguntas técnicas
Como calcular a posição x(t) do oscilador subamortecido?
Envie números finitos amplitude A, decay_rate β (≥0), omega ω (>0), phase φ em radianos e time t. A API devolve x = A·e^{-βt}·cos(ωt+φ) mais o envelope e o argumento do cosseno.
decay_rate pode ser zero?
Sim. β = 0 é o limite não amortecido da mesma fórmula (cosseno puro). β negativo é rejeitado porque um envelope crescente não é a resposta livre passiva.
Quanto custa a calculadora de posição do oscilador amortecido?
A ferramenta do navegador é gratuita. Pedidos API usam saldo pré-pago KIT a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.