Calculateur de dérangements

Un dérangement est une permutation de n éléments dans laquelle aucun n'occupe sa position d'origine — le classique problème du vestiaire, le Père Noël secret sans auto-cadeaux et les jeux mélangés qui évitent les cartes fixes demandent le même décompte. Ce décompte est la sous-factorielle ! n, aussi notée d(n) ou D_n. Ce calculateur évalue ! n avec la récurrence déterministe ! 0 égal à un, ! 1 égal à zéro, et pour tout n plus grand la valeur est n moins un fois la somme des deux sous-factorielles précédentes, implémentée avec BigInt afin que les réponses de cours et d'entretien restent exactes. Un n négatif est rejeté avec une erreur de validation claire car la suite n'est définie que pour les entiers non négatifs.

Ce que comptent les dérangements et quand la sous-factorielle compte

Un dérangement d'un ensemble fini est une bijection sans point fixe : chaque élément se déplace. Le nombre de telles permutations d'un ensemble à n éléments est la sous-factorielle ! n. L'histoire qui a rendu le concept célèbre est le problème du vestiaire : n invités déposent n chapeaux et chacun reçoit un chapeau au hasard ; de combien de façons chaque invité peut-il recevoir un mauvais chapeau ?

Les tirages de Père Noël secret, les plans de places qui interdisent à chacun sa chaise habituelle et les problèmes de codage qui demandent des permutations sans indices fixes sont le même objet combinatoire sous des noms différents. La suite commence par ! 0 égal à un par la convention du produit vide, !

1 égal à zéro car un seul élément ne peut se déplacer, ! 2 égal à un, ! 3 égal à deux, !

4 égal à neuf et ! 5 égal à quarante-quatre. Pour n grand le rapport !

n sur n! tend vers un sur e, c'est pourquoi les cours de probabilité indiquent qu'une permutation aléatoire est un dérangement avec une probabilité proche de trente-sept pour cent. Les factorielles complètes comptent toutes les permutations y compris celles à points fixes ; les permutations P(n,r) comptent des échantillons ordonnés de taille r ; les combinaisons ignorent totalement l'ordre. Si votre question porte précisément sur le nombre de façons où rien ne reste en place, vous avez besoin de la sous-factorielle, pas de ces autres outils.

Cette capacité ne renvoie que ce décompte ordonné sans point fixe afin que les chercheurs d'un calculateur de dérangements ou de sous-factorielle trouvent la formule dont ils ont réellement besoin.

Comment ce calculateur évalue !n et valide l'entrée

Le moteur vérifie que n est présent comme entier fini non négatif au plus la borne supérieure publiée de dix mille. Pour un n accepté l'implémentation parcourt la récurrence depuis les cas de base : commence avec ! 0 égal à un et !

1 égal à zéro, puis pour chaque k de deux à n pose ! k égal à k moins un fois la somme de ! k moins un et !

k moins deux, en utilisant l'arithmétique BigInt tout du long. Cette récurrence est algébriquement équivalente à la forme d'inclusion-exclusion ! n égal à n factorielle fois la somme alternée des factorielles réciproques, mais la récurrence n'a jamais besoin de division flottante et ne matérialise jamais une factorielle complète.

La réponse renvoie aussi n, une chaîne de notation telle qu'exclamation cinq, et une courte note de formule décrivant la récurrence ou le cas de base. Les cas limites sont explicites : ! 0 vaut un et !

1 vaut zéro.

Usage pratique, limites, tarification et livraison

Utilisez l'outil du navigateur lorsque vous voulez un ! n exact immédiat en étudiant les mathématiques discrètes, en vérifiant une réponse de concours ou en expliquant le problème du vestiaire sans installer un système de calcul formel. Les index acceptés vont de zéro à dix mille afin que les démos de cours et les filtres combinatoires restent réalisables sans croissance mémoire non bornée sur des produits pathologiques.

Les résultats sont pleinement déterministes : le même n produit toujours la même valeur de dérangements, la même notation et les mêmes champs de formule. Il n'y a ni modèle de langage, ni service arithmétique externe, ni aléatoire, de sorte que la capacité est sûre à épingler dans des contrôles d'intégration continue et des supports de cours reproductibles.

Branchez le point de terminaison sur des démos de combinatoire, des bacs à sable d'entretien de codage, des tutoriels de probabilité qui ont besoin de la taille de l'espace d'échantillonnage sans point fixe, ou des étapes de prétraitement entier où vous préférez déjà l'arithmétique exacte de sous-factorielle aux heuristiques approximatives basées sur e ou aux calculateurs boîte noire opaques qui ne peuvent montrer ni la structure de la récurrence ni la restriction de domaine lorsque n est négatif.