Derangement-Rechner
Zählen Sie die Umordnungen, bei denen nichts an seinem Platz bleibt: Beim Wichteln mit 5 Personen gibt es 44 Ziehungen, in denen niemand sich selbst zieht, also !5. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- N
- 5
- Derangement-Anzahl
- 44
- Schreibweise
- !5
Ein Derangement ist eine Permutation von n Elementen, bei der kein Element an seiner ursprünglichen Position steht — das klassische Garderobenproblem, Secret Santa ohne Selbstgeschenke und gemischte Kartenspiele ohne Fixkarten fragen alle denselben Zählwert. Dieser Zählwert ist die Subfakultät ! n, auch d(n) oder D_n geschrieben. Dieser Rechner wertet ! n mit der deterministischen Rekurrenz ! 0 gleich eins, ! 1 gleich null und für jedes größere n dem Wert n minus eins mal der Summe der beiden vorherigen Subfakultäten aus, implementiert mit BigInt, damit Antworten im Unterrichts- und Interviewmaßstab exakt bleiben. Negatives n wird mit einem klaren Validierungsfehler abgelehnt, weil die Folge nur für nichtnegative ganze Zahlen definiert ist.
Was Derangements zählen und wann die Subfakultät zählt
Ein Derangement einer endlichen Menge ist eine Bijektion ohne Fixpunkte: jedes Element wandert. Die Anzahl solcher Permutationen einer n-elementigen Menge ist die Subfakultät ! n. Die Geschichte, die das Konzept berühmt machte, ist das Garderobenproblem: n Gäste geben n Hüte ab und jeder erhält einen zufälligen Hut; auf wie viele Weisen kann jeder Gast einen falschen Hut erhalten?
Secret-Santa-Ziehungen, Sitzpläne, die allen den üblichen Stuhl verbieten, und Programmieraufgaben, die Permutationen ohne feste Indizes verlangen, sind dasselbe kombinatorische Objekt unter anderen Namen. Die Folge beginnt mit ! 0 gleich eins nach der Leeres-Produkt-Konvention, !
1 gleich null, weil ein einzelnes Element nicht wandern kann, ! 2 gleich eins, ! 3 gleich zwei, !
4 gleich neun und ! 5 gleich vierundvierzig. Für großes n nähert sich das Verhältnis !
n zu n! dem Wert eins durch e an, weshalb Wahrscheinlichkeitsseminare angeben, dass eine zufällige Permutation mit Wahrscheinlichkeit nahe siebenunddreißig Prozent ein Derangement ist. Volle Faktoriellen zählen alle Permutationen einschließlich jener mit Fixpunkten; Permutationen P(n,r) zählen geordnete Stichproben der Größe r; Kombinationen ignorieren die Reihenfolge vollständig. Wenn Ihre Frage konkret lautet, auf wie viele Weisen nichts an Ort und Stelle bleibt, brauchen Sie die Subfakultät, nicht jene anderen Werkzeuge.
Diese Fähigkeit liefert nur diesen geordneten fixpunktfreien Zählwert, damit Suchende nach einem Derangement- oder Subfakultät-Rechner bei der Formel landen, die sie wirklich brauchen.
Wie dieser Rechner !n auswertet und die Eingabe prüft
Die Engine prüft, dass n als endliche nichtnegative ganze Zahl höchstens der veröffentlichten oberen Schranke von zehntausend vorliegt. Für akzeptiertes n durchläuft die Implementierung die Rekurrenz von den Basisfällen: starte mit ! 0 gleich eins und !
1 gleich null, dann setze für jedes k von zwei bis n ! k gleich k minus eins mal der Summe von ! k minus eins und !
k minus zwei, durchgehend mit BigInt-Arithmetik. Diese Rekurrenz ist algebraisch äquivalent zur Inklusions-Exklusions-Form ! n gleich n Faktoriell mal der alternierenden Summe reziproker Faktoriellen, braucht aber nie Gleitkommadivision und materialisiert nie eine volle Faktoriell.
Die Antwort liefert außerdem n, eine Notationszeichenkette wie Ausrufezeichen fünf und eine kurze Formelnotiz zur Rekurrenz oder zum Basisfall. Randfälle sind explizit: ! 0 ist eins und !
Praktische Nutzung, Grenzen, Preise und Bereitstellung
Nutzen Sie das Browser-Werkzeug, wenn Sie ein sofortiges exaktes ! n beim Studium diskreter Mathematik, beim Prüfen einer Wettbewerbsantwort oder beim Erklären des Garderobenproblems ohne Computeralgebrasystem wollen. Akzeptierte Indizes laufen von null bis zehntausend, damit Unterrichtsdemos und kombinatorische Filter ohne unbegrenztes Speicherwachstum bei pathologischen Produkten machbar bleiben.
Ergebnisse sind vollständig deterministisch: dasselbe n liefert immer denselben Derangement-Wert, dieselbe Notation und dieselben Formelfelder. Es gibt kein Sprachmodell, keinen externen Arithmetikdienst und keine Zufälligkeit, sodass die Fähigkeit sicher in Continuous-Integration-Prüfungen und reproduzierbaren Unterrichtsmaterialien verankert werden kann. Verdrahten Sie den Endpunkt in Kombinatorik-Demos, Coding-Interview-Sandkästen, Wahrscheinlichkeitstutorials, die die Größe des fixpunktfreien Stichprobenraums brauchen, oder ganzzahlige Vorverarbeitungsschritte, in denen Sie bereits exakte Subfakultät-Arithmetik gegenüber näherungsweisen e-basierten Heuristiken oder undurchsichtigen Black-Box-Rechnern bevorzugen, die weder die Rekurrenzstruktur noch die Domänenbeschränkung bei negativem n zeigen können.
Anwendungsfälle
Hausaufgaben- und Wettbewerbsprüfung
Studierende und Bewerter bestätigen !n für Garderoben- und Secret-Santa-Probleme ohne lokales Computeralgebrasystem, einschließlich der Basisfälle !0=1 und !1=0.
Stichprobenraum-Dimensionierung für fixpunktfreie Modelle
Pipelines, die zufällige Derangements modellieren, können ein deterministisches Subfakultät-Orakel aufrufen, statt die BigInt-Rekurrenz in jeder Sprache neu zu implementieren.
Derangements gegenüber vollen Permutationen lehren
Unterrichtsseiten, die n! mit !n kontrastieren, können exakte Zählwerte neben der Rekurrenz zeigen, damit Lernende die Subfakultät-Notation mit Permutationen ohne Fixpunkte verbinden.
Häufige Fragen
Wie lautet die Subfakultät-Formel für !n?
Basisfälle sind ! 0=1 und ! 1=0. Für n≥2 gilt ! n=(n−1)(!( n−1)+!( n−2)). Äquivalent ! n=n×!( n−1)+(−1)^n. Der Zählwert ist die Anzahl der Permutationen ohne Fixpunkte.
Was geschieht, wenn n negativ ist?
Derangements sind nur für nichtnegative ganze Zahlen definiert; solche Aufrufe werden nicht berechnet.
Worin unterscheiden sich Derangements von gewöhnlichen Permutationen?
Die Faktoriell n! zählt alle Permutationen von n Elementen. Die Subfakultät ! n zählt nur jene ohne Fixpunkte. Für großes n nähert sich ! n/n! dem Wert 1/e ≈ 0.3679.
Wie wahrscheinlich ist es, dass zufälliges Mischen nichts an seinem Platz lässt?
Für großes n nähert sich die Wahrscheinlichkeit eins durch e, also rund siebenunddreißig Prozent. Sie ergibt sich aus der Subfakultät !n geteilt durch n!, der Zahl aller möglichen Anordnungen.
Wie viele Derangements gibt es für kleine n?
Die Folge beginnt mit !0 = 1, !1 = 0, !2 = 1, !3 = 2, !4 = 9 und !5 = 44. Bei null Elementen zählt die leere Anordnung als eine, ein einzelnes Element kann sich nicht bewegen.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/combo/derangement \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/combo/derangement", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/combo/derangement",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/combo/derangement", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/combo/derangement", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"n": 5
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "combo.derangement",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Limits
max_n | 10000 |
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Wie dieser Rechner !n auswertet und die Eingabe prüft
Senden Sie einen JSON-Körper mit dem erforderlichen ganzzahligen Feld n. Ist n negativ, schlägt die Anfrage sofort mit invalid_input unter Nennung dieser Domänenregel fehl, und der Aufruf wird nicht berechnet. Fehlende Felder, Nicht-Ganzzahlen, nicht-endliche Werte und Werte über dem Limit scheitern ebenfalls mit invalid_input. Das Produkt wird als JSON-Zahl zurückgegeben, wenn es in den sicheren Ganzzahlbereich passt, sonst als Dezimalzeichenkette, damit Clients keine höherwertigen Ziffern verlieren.
Praktische Nutzung, Grenzen, Preise und Bereitstellung
Nutzen Sie die API, wenn ein Skript, ein Hausaufgabenprüfer, eine Interview-Vorbereitungsplattform oder eine Bildungsseite stabiles JSON für viele Werte unter einem Vertrag braucht. Jede erfolgreiche Anfrage ist eine abrechenbare Position zu $0.002; fehlgeschlagene Validierung wird nicht berechnet.
Technische Fragen
Wie berechne ich die Anzahl der Derangements von n mit dieser API?
Senden Sie einen JSON-Körper mit ganzzahligem Feld n an combo.derangement. Die Antwort liefert derangements, Notation wie !5 und eine kurze Formelnotiz zur Rekurrenz.
Ist der Derangement-Rechner kostenlos?
Das Browser-Werkzeug läuft kostenlos auf Ihrem Gerät. API-Aufrufe nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreicher Position; Validierungsfehler werden nicht berechnet.