Calculadora de desarranjos
Conte as reordenações em que nada fica no lugar: 5 pessoas sorteando um amigo secreto têm 44 sorteios em que ninguém tira o próprio nome, o que é !5. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- N
- 5
- Desarranjos
- 44
- Notação
- !5
Um desarranjo é uma permutação de n itens em que nenhum elemento aparece na posição original — o clássico problema do guarda-chapéus, o amigo secreto sem autoatribuições e baralhos embaralhados que evitam cartas fixas pedem a mesma contagem. Essa contagem é o subfatorial ! n, também escrito d(n) ou D_n. Esta calculadora avalia ! n com a recorrência determinística ! 0 igual a um, ! 1 igual a zero, e para todo n maior o valor é n menos um vezes a soma dos dois subfatoriais anteriores, implementada com BigInt para que respostas de sala de aula e de entrevista permaneçam exatas. Um n negativo é rejeitado com um erro de validação claro porque a sequência só está definida para inteiros não negativos.
O que os desarranjos contam e quando o subfatorial importa
Um desarranjo de um conjunto finito é uma bijeção sem pontos fixos: cada item se move. O número de tais permutações de um conjunto de n elementos é o subfatorial ! n. A história que tornou o conceito famoso é o problema do guarda-chapéus: n convidados depositam n chapéus e cada um recebe um chapéu aleatório; de quantas formas cada convidado pode receber um chapéu errado?
Sorteios de amigo secreto, planos de assentos que proíbem a todos a cadeira habitual e problemas de programação que pedem permutações sem índices fixos são o mesmo objeto combinatório sob nomes diferentes. A sequência começa com ! 0 igual a um pela convenção do produto vazio, !
1 igual a zero porque um único item não pode se mover, ! 2 igual a um, ! 3 igual a dois, !
4 igual a nove e ! 5 igual a quarenta e quatro. Para n grande a razão !
n sobre n! se aproxima de um sobre e, por isso cursos de probabilidade citam que uma permutação aleatória é um desarranjo com probabilidade próxima de trinta e sete por cento. Fatoriais completos contam todas as permutações, inclusive as com pontos fixos; permutações P(n,r) contam amostras ordenadas de tamanho r; combinações ignoram a ordem por completo. Se a sua pergunta é especificamente de quantas formas nada permanece no lugar, você precisa do subfatorial, não dessas outras ferramentas.
Esta capacidade devolve apenas essa contagem ordenada sem pontos fixos para que quem busca uma calculadora de desarranjos ou de subfatorial encontre a fórmula de que realmente precisa.
Como esta calculadora avalia !n e valida a entrada
O motor verifica que n está presente como inteiro finito não negativo no máximo o limite superior publicado de dez mil. Para n aceito a implementação percorre a recorrência a partir dos casos base: começa com ! 0 igual a um e !
1 igual a zero, e depois para cada k de dois até n define ! k igual a k menos um vezes a soma de ! k menos um e !
k menos dois, usando aritmética BigInt o tempo todo. Essa recorrência é algebricamente equivalente à forma de inclusão-exclusão ! n igual a n fatorial vezes a soma alternada de fatoriais recíprocos, mas a recorrência nunca precisa de divisão em ponto flutuante e nunca materializa um fatorial completo.
A resposta também ecoa n, uma string de notação como exclamação cinco, e uma nota curta de fórmula descrevendo a recorrência ou o caso base. Os casos limite são explícitos: ! 0 é um e ! 1 é zero.
Uso prático, limites, preços e entrega
Use a ferramenta do navegador quando quiser um ! n exato imediato ao estudar matemática discreta, conferir uma resposta de concurso ou explicar o problema do guarda-chapéus sem instalar um sistema de álgebra computacional. Os índices aceitos vão de zero a dez mil para que demos de sala e filtros combinatórios permaneçam viáveis sem crescimento ilimitado de memória em produtos patológicos.
Os resultados são plenamente determinísticos: o mesmo n sempre produz o mesmo valor de desarranjos, a mesma notação e os mesmos campos de fórmula. Não há modelo de linguagem, nem serviço aritmético externo nem aleatoriedade, de modo que a capacidade é segura para fixar em checagens de integração contínua e materiais de aula reproduzíveis.
Casos de uso
Verificação de deveres e concursos
Alunos e avaliadores confirmam !n em problemas de guarda-chapéus e amigo secreto sem um sistema de álgebra local, incluindo os casos base !0=1 e !1=0.
Dimensionamento do espaço amostral sem pontos fixos
Pipelines que modelam desarranjos aleatórios podem chamar um oráculo determinístico de subfatorial em vez de reimplementar a recorrência BigInt em cada linguagem.
Ensinar desarranjos versus permutações completas
Páginas de aula que contrastam n! com !n podem mostrar contagens exatas ao lado da recorrência para que os aprendizes liguem a notação subfatorial a permutações sem pontos fixos.
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula do subfatorial !n?
Os casos base são ! 0=1 e ! 1=0. Para n≥2, ! n=(n−1)(!( n−1)+!( n−2)). De forma equivalente ! n=n×!( n−1)+(−1)^n. A contagem é o número de permutações sem pontos fixos.
O que acontece se n for negativo?
Desarranjos só estão definidos para inteiros não negativos; essas chamadas não são cobradas.
A calculadora de desarranjos é gratuita?
A ferramenta do navegador roda grátis no seu dispositivo.
Como os desarranjos diferem das permutações ordinárias?
O fatorial n! conta todas as permutações de n itens. O subfatorial ! n conta apenas as que não têm pontos fixos. Para n grande, ! n/n! se aproxima de 1/e ≈ 0.3679.
Qual é a chance de um embaralhamento aleatório não deixar nada no lugar?
Para n grande, ela se aproxima de um sobre e, perto de trinta e sete por cento. É o subfatorial !n dividido por n!, o total de ordenações possíveis dos mesmos itens.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/combo/derangement \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/combo/derangement", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/combo/derangement",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/combo/derangement", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/combo/derangement", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"n": 5
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "combo.derangement",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Limites
max_n | 10000 |
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Como esta calculadora avalia !n e valida a entrada
Envie um corpo JSON com o campo inteiro obrigatório n. Se n for negativo a requisição falha de imediato com invalid_input citando essa regra de domínio, e a chamada não é cobrada. Campos ausentes, não inteiros, valores não finitos e valores acima do limite também falham com invalid_input. O produto é devolvido como número JSON quando cabe no intervalo de inteiros seguros; caso contrário como string decimal para que os clientes nunca percam dígitos de ordem superior.
Uso prático, limites, preços e entrega
Use a API quando um script, uma corretora de deveres, uma plataforma de preparação para entrevistas ou um site educacional precisar de JSON estável para muitos valores sob um único contrato. Cada requisição bem-sucedida é um item faturável a US$ 0,002; validação falha não consome saldo. Conecte o endpoint a demos de combinatória, sandboxes de entrevista de programação, tutoriais de probabilidade que precisam do tamanho do espaço amostral sem pontos fixos, ou etapas de pré-processamento inteiro em que você já prefere aritmética exata de subfatorial a heurísticas aproximadas baseadas em e ou a calculadoras opacas de caixa-preta que não conseguem mostrar a estrutura da recorrência nem a restrição de domínio quando n é negativo.
Perguntas técnicas
Como calculo o número de desarranjos de n com esta API?
Envie um corpo JSON com o campo inteiro n para combo.derangement. A resposta devolve derangements, notação como !5 e uma nota curta de fórmula para a recorrência.