Gráfico de desigualdades quadráticas
Digite os três coeficientes e o sinal e veja qual parte da reta sombrear: x² − 5x + 6 ≤ 0 tem raízes 2 e 3, a parábola abre para cima e a solução é [2, 3]. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- A
- 1
- B
- -5
- C
- 6
- Sinal
- <=
- Desigualdade
- 1x^2 - 5x + 6 <= 0
- Discriminante
- 1
- Parábola
- opens_up
- Raízes
- 2, 3
Representar inequações quadráticas no gráfico é onde os estudantes de álgebra mais se perdem: encontrar as raízes é a parte fácil, decidir qual lado sombrear é a difícil. Esta capacidade recebe os três coeficientes de ax²+bx+c e o sinal da inequação, e devolve o quadro completo — o discriminante, as raízes de fronteira quando existem, para que lado a parábola abre e a região da solução, tanto em notação de intervalo quanto como uma instrução de sombreamento em linguagem simples. Trata todos os casos de forma determinística: duas raízes distintas, uma raiz dupla e parábolas que nunca tocam o eixo x.
Dos coeficientes ao gráfico em uma única chamada
Uma inequação quadrática como x²−5x+6 ≤ 0 pede todos os valores de x que tornam a expressão verdadeira, e a forma honesta de mostrar a resposta é um gráfico: desenhe a parábola, marque onde ela cruza o eixo x e sombreie a região que satisfaz o sinal. Fazer isso à mão significa calcular o discriminante, resolver as raízes, decidir a direção da parábola e depois raciocinar sobre qual lado da fronteira pertence à solução.
Você envia a, b, c e um dos quatro sinais (<, <=, >, >=); recebe de volta as raízes de fronteira ordenadas da esquerda para a direita, se a parábola abre para cima ou para baixo, e um objeto de região que declara o sombreamento em duas formas intercambiáveis — notação de intervalo compacta como [-1, 4] ou (-∞, 2) ∪ (3, +∞), e uma frase que você poderia ler diretamente para um estudante.
Como a entrada é apenas três números e um sinal, tudo se resolve em microssegundos e o resultado é reproduzível byte a byte.
Como os casos de fronteira são tratados
A maioria dos erros neste tópico vem das bordas, por isso o resolvedor as trata explicitamente, e não como um detalhe posterior. Quando o discriminante é positivo há duas raízes distintas e a resposta é o intervalo entre elas ou a união das duas alas externas, conforme o sinal e a direção de abertura da parábola — o resolvedor inverte a lógica para você quando a é negativo, exatamente onde as soluções manuais costumam falhar.
Quando o discriminante é zero, a parábola apenas toca o eixo numa raiz dupla, e a resposta pode ser um único ponto fechado, toda a reta, toda a reta com um ponto aberto ou o conjunto vazio; os quatro resultados são distinguidos e relatados. Quando o discriminante é negativo, a curva nunca encontra o eixo, então a solução é todos os números reais ou nada.
Sinais estritos sempre produzem extremos abertos e uma curva de fronteira tracejada; sinais inclusivos produzem extremos fechados e uma curva sólida, e a descrição informa isso.
Uso em ferramentas de tarefas, tutoria e pipelines de conteúdo
A saída foi desenhada para ser consumida por software, não apenas lida. Um corretor de tarefas pode comparar o esboço sombreado do estudante com o intervalo; um app de tutoria pode ler a descrição em voz alta; um pipeline de conteúdo pode gerar centenas de exemplos resolvidos e consistentes iterando sobre coeficientes.
Casos de uso
Alimente um corretor de tarefas
Compare a resposta em intervalo do estudante com a região de solução calculada e marque corretamente os extremos abertos versus fechados.
Renderize o gráfico em um app de tutoria
Use as raízes ordenadas e o vocabulário de sombreamento para desenhar a fronteira da parábola e a faixa sombreada num canvas sem refazer a matemática.
Gere exemplos resolvidos em escala
Itere sobre conjuntos de coeficientes para produzir soluções consistentes e determinísticas para folhas de exercícios, com raízes, discriminante e região em um só objeto.
Perguntas frequentes
Que entrada ele espera?
Três coeficientes a, b e c (números finitos, com a diferente de zero) e um sinal, entre <, <=, > ou >=.
E se a parábola não tiver raízes reais?
O discriminante é relatado como negativo e a região é todos os números reais ou o conjunto vazio, conforme o sinal e a direção da parábola.
Como os sinais estritos e inclusivos se refletem?
Sinais estritos (< e >) geram extremos abertos e fronteira tracejada; sinais inclusivos (<= e >=) geram extremos fechados e fronteira sólida. A descrição informa qual se aplica.
O resultado é determinístico?
Sim. É aritmética pura com arredondamento estável, sem aleatoriedade e sem relógio, portanto entradas idênticas sempre retornam saídas byte a byte idênticas.
O que acontece quando o discriminante é zero?
A parábola só toca o eixo em uma raiz dupla. Dependendo do sinal, a solução é esse único ponto, a reta inteira, a reta inteira menos esse ponto ou nenhuma solução.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/graphing-quadratic-inequalities \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"b":-5,"c":6,"sign":"<="}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/graphing-quadratic-inequalities", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"b": -5,
"c": 6,
"sign": "<="
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/graphing-quadratic-inequalities",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"b": -5,
"c": 6,
"sign": "<="
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/graphing-quadratic-inequalities", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"b":-5,"c":6,"sign":"<="}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":-5,"c":6,"sign":"<="}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/graphing-quadratic-inequalities", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"a": 1,
"b": -5,
"c": 6,
"sign": "<="
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.graphing_quadratic_inequalities",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
O mesmo código roda grátis no seu navegador e via API por US$ 0,002 por chamada.
Dos coeficientes ao gráfico em uma única chamada
Este endpoint executa toda essa cadeia por você.
Uso em ferramentas de tarefas, tutoria e pipelines de conteúdo
O array de raízes fornece as interseções com o eixo x em ordem crescente, para que um renderizador em canvas posicione os pontos de fronteira diretamente; o campo de sombreamento pertence a um pequeno vocabulário fechado (between_roots, outside_roots, single_point, all_except_root, all_real, no_solution), de modo que uma interface pode reagir a ele sem analisar texto; e a string de intervalo mais a descrição cobrem exibição e acessibilidade, respectivamente.
Perguntas técnicas
Quanto custa?
US$ 0,002 por chamada via API. Também é grátis rodar no seu navegador nesta página — o widget executa o mesmo código.
Por que a = 0 é rejeitado?
Porque com a = 0 a expressão é linear, não quadrática. Resolva-a com um resolvedor de inequações lineares; esta capacidade reporta erro em vez de alterar o problema silenciosamente.