Persistência multiplicativa

A persistência multiplicativa de um inteiro não negativo é o número de vezes que você deve substituir o número pelo produto de seus dígitos decimais até restar apenas um dígito. Diferente da raiz digital, que soma dígitos e se estabiliza com aritmética modular, o mapa de produto de dígitos reduz os valores de forma agressiva sempre que aparece um zero e produz um dígito final distinto que não é um simples resíduo do número original. A medida aparece em teoria recreativa dos números, problemas de concurso sobre recordes extremos de persistência, contrastes em sala com a persistência aditiva e verificações automatizadas que avaliam procedimentos iterativos de dígitos. Esta calculadora recebe um inteiro não negativo, multiplica dígitos passo a passo, devolve a contagem de persistência e o dígito final, e lista cada produto intermediário para que você possa verificar a cadeia à mão sem um sistema de álgebra computacional.

O que significa a persistência multiplicativa

Comece com qualquer inteiro não negativo escrito na base dez. Multiplique seus dígitos entre si para obter um novo inteiro não negativo. Se o número original tinha dois ou mais dígitos, o produto costuma ser bem menor; se algum dígito for zero, o produto é zero de imediato.

Repita o passo de produto dos dígitos até o valor ser um único dígito de zero a nove. O número de passos completos de produto necessários é a persistência multiplicativa, e o dígito final é o valor terminal de um dígito dessa cadeia. Por exemplo, trinta e nove vira vinte e sete, depois quatorze, depois quatro: a persistência é três e o dígito terminal é quatro.

Dez vira zero em um passo por causa do dígito zero. Entradas de um só dígito já não precisam de passos, então a persistência é zero e o dígito único é o próprio número. Persistência multiplicativa não é o mesmo que aditiva: somar os dígitos de nove mil oitocentos e setenta e cinco precisa de três passos aditivos, enquanto multiplicá-los colapsa mais rápido ou de outro modo conforme zeros e dígitos grandes.

Números difíceis famosos na literatura empacotam muitos noves e setes para atrasar zeros e forçar cadeias longas de produtos; esta ferramenta informa a contagem exata de passos e cada produto intermediário para qualquer inteiro não negativo dentro do limite de dígitos publicado, para que recordes recreativos e exercícios de livro possam ser checados contra uma definição determinística única em vez de scripts ad hoc que discordam em casos de borda como zeros à esquerda ou entrada vazia.

Uso prático, limites, preços e entrega

Use a ferramenta do navegador quando quiser uma persistência multiplicativa imediata ao estudar teoria recreativa dos números, verificar um problema de concurso ou contrastar produtos de dígitos com somas de dígitos ao lado de uma lição de raiz digital. Aceitam-se inteiros não negativos, inclusive strings longas de dígitos de até mil dígitos, para que exemplos de persistência extrema e demos de sala não sejam forçados a aproximações de ponto flutuante.

Os resultados são totalmente determinísticos: o mesmo n sempre produz a mesma persistência multiplicativa, o mesmo dígito único e a mesma lista ordenada de produtos de dígitos intermediários. Não há modelo de linguagem, serviço aritmético externo nem aleatoriedade, de modo que a capacidade é segura para fixar em testes automatizados e notebooks reproduzíveis. Para somas aditivas de dígitos e raízes digitais, use a capacidade irmã de raiz digital em vez de esticar esta medida baseada em produtos além da sua definição.