Raiz digital em base

A raiz digital de um inteiro não negativo em uma base arbitrária é o único dígito obtido ao substituir repetidamente o número pela soma de seus dígitos escritos nessa base até que o resultado seja estritamente menor que a base. Na base dez recupera-se a raiz digital familiar das regras de divisibilidade; na base dois é a paridade eventual do processo de popcount; em hexadecimal e outras bases a mesma ideia aparece em checksums, problemas de competição e no ensino de aritmética modular. Esta calculadora aceita um inteiro não negativo n e uma base inteira b pelo menos dois, executa um algoritmo iterativo determinístico de soma de dígitos, confere a forma fechada módulo b menos um e devolve a raiz digital, a persistência aditiva e cada passo intermediário para que você verifique o caminho à mão.

O que significa uma raiz digital na base b

Fixe uma base inteira b maior ou igual a dois e um inteiro não negativo n. Escreva n na base b e some seus dígitos; a soma é um inteiro não negativo menor sempre que n seja pelo menos b. Repita até que o valor fique no intervalo de um único dígito, de zero a b menos um.

Esse valor final é a raiz digital de n na base b. O número de passos completos de soma de dígitos é a persistência aditiva para essa base. Por exemplo, duzentos e cinquenta e cinco na base dezesseis é F F, a soma dos dígitos é trinta, que é um E em hex, e a próxima soma é quinze, já um único dígito hex; a raiz digital é quinze e a persistência é dois.

Na base dez o mesmo processo sobre nove mil oitocentos e setenta e cinco produz dois com persistência três, coincidindo com a raiz digital decimal clássica. Uma razão profunda da estabilidade do processo é a aritmética modular: para n positivo a raiz digital na base b é igual a n módulo b menos um, exceto que os múltiplos de b menos um mapeiam para b menos um em vez de zero, enquanto zero mapeia para zero.

Essa congruência generaliza o vínculo familiar na base dez entre somas de dígitos e resíduos módulo nove, e por isso checksums e heurísticas de divisibilidade ainda fazem sentido ao mudar a base. A persistência aditiva permanece uma medida de complexidade separada: quantas iterações o mapa de soma de dígitos precisa antes de se estabilizar na base escolhida.

Como esta calculadora avalia a soma repetida de dígitos na base b

Chame a capacidade com os campos n e base. O inteiro n deve ser não negativo; a base inteira deve ser pelo menos dois. Enquanto o valor atual for maior ou igual à base, o motor extrai dígitos na base b por divisão sucessiva, soma-os, registra um passo com o valor anterior e a nova soma de dígitos, e continua a partir dessa soma.

Quando resta um único dígito entre zero e base menos um, esse dígito é a raiz digital e a contagem de passos é a persistência aditiva. De forma independente, uma forma fechada calculada como um mais n menos um módulo base menos um (com as convenções usuais de zero e múltiplos) confirma a mesma raiz, de modo que uma divergência surgiria como erro interno de consistência e não como resposta incorreta silenciosa.

Uso prático, limites, preços e entrega

Use a ferramenta do navegador quando quiser uma raiz digital imediata na base b ao estudar aritmética modular, conferir um exemplo de competição de programação ou explicar por que somas de dígitos se relacionam com resíduos módulo b menos um sem instalar um sistema de álgebra computacional. Aceitam-se inteiros não negativos para n dentro do intervalo de inteiros seguros e bases inteiras de dois ou mais.

Os resultados são totalmente determinísticos: o mesmo n e a mesma base sempre produzem a mesma raiz digital, a mesma persistência aditiva e a mesma lista ordenada de passos intermediários. Não há modelo de linguagem, nem serviço aritmético externo, nem aleatoriedade, de modo que a capacidade é segura para fixar em testes automatizados e notebooks reproduzíveis.