Raiz digital

A raiz digital de um inteiro não negativo é o único dígito obtido ao substituir repetidamente o número pela soma de seus dígitos decimais até restar um só dígito. Esse processo também define a persistência aditiva: a contagem de passos de soma de dígitos necessários para chegar a um único dígito. Ambas as quantidades aparecem em regras de divisibilidade, intuição de checksums, teoria recreativa dos números e exercícios de congruência módulo nove. Esta calculadora recebe um inteiro não negativo, executa o algoritmo iterativo de soma de dígitos de forma determinística, devolve a raiz digital e a contagem de persistência, e lista cada passo intermediário para que você possa verificar o caminho à mão.

O que significam raiz digital e persistência aditiva

Comece com qualquer inteiro não negativo escrito na base dez. Some seus dígitos para produzir um novo inteiro não negativo estritamente menor sempre que o original tiver mais de um dígito. Repita até o resultado ser um único dígito entre zero e nove.

Esse dígito final é a raiz digital. O número de vezes em que você realizou uma soma completa de dígitos é a persistência aditiva. Por exemplo, nove mil oitocentos e setenta e cinco vira vinte e nove, depois onze, depois dois: a raiz digital é dois e a persistência aditiva é três.

Zero já é um único dígito, então sua raiz digital é zero e sua persistência é zero. Entradas de um só dígito igualmente não precisam de passos. Uma razão profunda para a estabilidade do processo é a aritmética modular: para todo n positivo a raiz digital é igual a n módulo nove, exceto que múltiplos de nove mapeiam para nove em vez de zero, enquanto o próprio zero mapeia para zero.

Essa congruência explica os testes clássicos de divisibilidade por três e por nove e é por isso que dois números com a mesma raiz digital compartilham a mesma classe de resíduo módulo nove. A persistência aditiva é uma medida de complexidade separada: quantas iterações o mapa de soma de dígitos precisa antes de estabilizar.

Cadeias longas de noves precisam de mais passos do que dígitos pequenos e esparsos, o que torna a persistência um contraexemplo didático útil quando se assume que toda função de dígitos se comporta como uma única redução modular.

Como esta calculadora avalia a soma repetida de dígitos

A implementação primeiro valida que n está presente, é finito, integral e não negativo. Em seguida normaliza o valor para uma string canônica de dígitos sem zeros à esquerda enganosos. Enquanto a string atual tiver mais de um caractere, o motor soma seus códigos de dígito, registra um passo com o valor anterior e a nova soma de dígitos, e continua a partir dessa soma escrita em decimal.

Quando resta um único dígito, esse dígito é a raiz digital e a contagem de passos é a persistência aditiva. De forma independente, uma forma fechada modular calculada a partir dos dígitos originais confirma a mesma raiz, de modo que uma divergência surgiria como erro interno de consistência e não como resposta errada silenciosa.

Uso prático, limites, preços e entrega

Use a ferramenta do navegador quando quiser uma raiz digital imediata ao estudar divisibilidade, checar um problema de competição ou explicar congruência módulo nove sem instalar um sistema de álgebra computacional. Aceitam-se inteiros não negativos, incluindo strings longas de dígitos de até mil dígitos, para que exemplos de sala e demos de checksum não sejam forçados a aproximações de ponto flutuante. Os resultados são totalmente determinísticos: o mesmo n sempre produz a mesma raiz digital, a mesma persistência aditiva e a mesma lista ordenada de passos intermediários.

Não há modelo de linguagem, nem serviço aritmético externo, nem aleatoriedade, de modo que a capacidade é segura para fixar em testes automatizados e notebooks reproduzíveis.