Radice digitale in base

La radice digitale di un intero non negativo in una base arbitraria è l'unica cifra che si ottiene sostituendo ripetutamente il numero con la somma delle sue cifre scritte in quella base finché il risultato è strettamente minore della base. In base dieci si recupera la radice digitale familiare delle regole di divisibilità; in base due è la parità finale del processo di popcount; in esadecimale e in altre basi la stessa idea compare nei checksum, nei problemi di gara e nell'insegnamento dell'aritmetica modulare. Questo calcolatore accetta un intero non negativo n e una base intera b almeno due, esegue un algoritmo iterativo deterministico di somma delle cifre, verifica la forma chiusa modulo b meno uno e restituisce la radice digitale, la persistenza additiva e ogni passo intermedio affinché Lei possa verificare il percorso a mano.

Cosa significa una radice digitale in base b

Fissi una base intera b maggiore o uguale a due e un intero non negativo n. Scriva n in base b e sommi le sue cifre; la somma è un intero non negativo più piccolo ogni volta che n è almeno b. Ripeta finché il valore resta nell'intervallo di una sola cifra, da zero a b meno uno.

Quel valore finale è la radice digitale di n in base b. Il numero di passi completi di somma delle cifre è la persistenza additiva per quella base. Ad esempio, duecentocinquantacinque in base sedici è F F, la somma delle cifre è trenta, cioè uno E in esadecimale, e la somma successiva è quindici, già una sola cifra esadecimale; la radice digitale è quindici e la persistenza è due.

In base dieci lo stesso processo su novemilaottocentosettantacinque produce due con persistenza tre, in accordo con la radice digitale decimale classica. Una ragione profonda della stabilità del processo è l'aritmetica modulare: per n positivo la radice digitale in base b è uguale a n modulo b meno uno, salvo che i multipli di b meno uno si mappano su b meno uno anziché su zero, mentre zero si mappa su zero.

Quella congruenza generalizza il legame familiare in base dieci tra somme di cifre e residui modulo nove, ed è per questo che checksum e euristiche di divisibilità restano sensati quando si cambia base. La persistenza additiva resta una misura di complessità separata: quante iterazioni la mappa di somma delle cifre richiede prima di stabilizzarsi nella base scelta.

Come questo calcolatore valuta la somma ripetuta delle cifre in base b

Chiami la capacità con i campi n e base. L'intero n deve essere non negativo; la base intera deve essere almeno due. Finché il valore corrente è maggiore o uguale alla base, il motore estrae le cifre in base b mediante divisioni successive, le somma, registra un passo con il valore precedente e la nuova somma delle cifre, e continua da quella somma.

Quando resta una sola cifra tra zero e base meno uno, quella cifra è la radice digitale e il conteggio dei passi è la persistenza additiva. In modo indipendente, una forma chiusa calcolata come uno più n meno uno modulo base meno uno (con le convenzioni usuali per zero e multipli) conferma la stessa radice, così una discrepanza emergerrebbe come errore interno di coerenza piuttosto che come risposta errata silenziosa.

Uso pratico, limiti, prezzi e consegna

Usi lo strumento del browser quando desidera una radice digitale immediata in base b mentre studia l'aritmetica modulare, controlla un esempio di gara di programmazione o spiega perché le somme di cifre si collegano ai residui modulo b meno uno senza installare un sistema di algebra computazionale. Gli input accettati sono interi non negativi per n entro l'intervallo degli interi sicuri e basi intere di due o più.

I risultati sono pienamente deterministici: lo stesso n e la stessa base producono sempre la stessa radice digitale, la stessa persistenza additiva e la stessa lista ordinata di passi intermedi. Non c'è modello di linguaggio, né servizio aritmetico esterno, né casualità, quindi la capacità è sicura da fissare in test automatizzati e notebook riproducibili.