مفارقة فندق هيلبرت

فندق هيلبرت هو التجربة الفكرية الكلاسيكية عن اللانهاية: فندق ممتلئ تمامًا بغرف لا نهائية العدد يمكنه دائمًا استيعاب نزلاء جدد، بمجرد الطلب من كل نزيل حالي الانتقال إلى غرفة أعلى. أما عدد الوافدين السالب فيُرفض، لأن النزلاء لا يمكن أن «يُلغوا وصولهم». تعمل المحاكاة بشكل حتمي تمامًا، دون عشوائية ودون أي استدعاءات خارجية، فالمدخل نفسه يعطي دائمًا إعادة التخصيص نفسها.

المفارقة في صورة ملموسة

تتصور تجربة ديفيد هيلبرت الفكرية فندقًا فيه عدد لا نهائي من الغرف، جميعها مشغولة. حين يصل نزيل جديد، يضطر أي فندق عادي ممتلئ إلى رفضه؛ أما فندق هيلبرت فلا يفعل ذلك. يطلب المدير ببساطة من نزيل الغرفة 1 الانتقال إلى الغرفة 2، ومن نزيل الغرفة 2 الانتقال إلى الغرفة 3، وهكذا — ينتقل كل نزيل غرفةً واحدة، فتُخلَى الغرفة 1 فجأة.

وإذا وصلت حافلة تقل أربعين سائحًا، ينتقل الجميع أربعين غرفة بدلًا من ذلك، فتُخلَى الغرف من 1 إلى 40. يُجري محاكي مفارقة فندق هيلبرت هذه الإزاحة نفسها على أي سجل تقدمه: يُزاد رقم غرفة كل نزيل حالي بعدد الوافدين، وتُعاد الغرف المُخلاة أسفل الترقيم صراحةً، لتعرف بدقة أين سيُسكن القادمون الجدد. وهكذا يتحول الدرس المناقض للحدس — أن الفندق اللانهائي الممتلئ يتسع دائمًا لمزيد — إلى قائمة واضحة قابلة للتحقق من تنقلات الغرف.

كيف تُحسب الإزاحة

الخوارزمية بسيطة عمدًا وحتمية تمامًا. تقدم قائمة بالنزلاء الحاليين، لكل منهم اسم ورقم غرفة صحيح موجب، إضافة إلى عدد الوافدين الجدد. يتحقق المحاكي من السجل — يجب أن يكون كل رقم غرفة صحيحًا موجبًا، وأن يكون عدد الوافدين صحيحًا غير سالب — ثم يضيف عدد الوافدين إلى كل رقم غرفة.

فنزيل في الغرفة 7 مع ثلاثة وافدين جدد ينتهي به المقام في الغرفة 10. يُعيد الناتج لكل نزيل غرفته القديمة وغرفته الجديدة، مع القائمة الكاملة للغرف المُخلاة: الأعداد الصحيحة من 1 حتى عدد الوافدين. لا عشوائية ولا ساعة ولا وصول إلى الشبكة في أي موضع من الحساب، لذا تُعيد النداءات المتكررة بالمدخل نفسه نتائج متطابقة تمامًا حتى آخر بايت.

أين يكمن نفعه

صُممت هذه القدرة للتعليم والعروض التوضيحية وفحوص السلامة السريعة. يستخدمها المعلمون لتحويل مفارقة مجردة إلى شيء يستطيع الطلاب تجربته بأنفسهم: غيِّر عدد الوافدين، وراقب تحديث كل تخصيص، وتأكد أن الغرف المُخلاة تطابق القادمين الجدد دائمًا. وتصلح أيضًا مثالًا مسليًا على دالة إعادة تخصيص صرفة — فعملية «إزاحة كل مفتاح بمقدار ثابت» نفسها تظهر في موازنة الأحمال والمخازن الدائرية ومخططات إعادة التجزئة، وتعرضها هذه النقطة الطرفية دون أي إعداد.

وتُبقي حدود المدخلات السجل ضمن المعقول — حتى عشرة آلاف نزيل ومليون وافد في النداء الواحد — وهو أبعد بكثير مما يحتاجه أي صف دراسي أو عرض توضيحي، مع بقاء الاستجابات فورية.