مفارقة غاليليو للانهاية
أقرن غاليليو كل عدد طبيعي بمربعه، 1 مع 1 و2 مع 4 و3 مع 9، ولاحظ أن أيًّا من القائمتين لا تنفد قبل الأخرى. اختر حدًّا يصل إلى 10000 وشاهد هذا الإقران مكتوبًا كاملًا عددًا عددًا. مجاني في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- الحد
- 5
- الكمية
- 5
تُعدّ مفارقة غاليليو للّانهاية من أقدم الملاحظات الدقيقة عن المجموعات اللانهائية، وقد وردت في كتابه عام 1638 «مقالات وبراهين رياضية تتعلق بعلمين جديدين». فالمربعات الكاملة تزداد ندرة بين الأعداد الطبيعية، ومع ذلك قرن غاليليو كل عدد طبيعي بمربع واحد لا غير: 1 مع 1، و2 مع 4، و3 مع 9، وهكذا إلى ما لا نهاية. لا تنفد أيّ من المجموعتين قبل الأخرى، ولذلك تكون المجموعتان في الحالة اللانهائية متساويتين في الحجم رغم أن إحداهما جزء حقيقي من الأخرى. تسرد هذه الأداة هذا الإقران صراحةً لكل عدد طبيعي من 1 حتى حد صحيح موجب تختاره، بحيث يمكن فحص التقابل والتحقق منه مباشرة.
ما الذي لاحظه غاليليو فعلًا
في كتابه الأخير، وضع غاليليو غاليلي حجة مقلقة على لسان شخصيته سالفياتي. فمن جهة، تُشكّل المربعات الكاملة أقلية ضئيلة بين الأعداد الطبيعية: فمن بين المئة الأولى لا توجد سوى عشرة مربعات، ومن بين العشرة آلاف الأولى لا توجد سوى مئة، فتستمر النسبة في الانخفاض نحو الصفر. ومن جهة أخرى، لكل عدد طبيعي مربع، ولكل مربع جذر تربيعي موجب واحد، فيوجد تطابق تام واحد لواحد بين الأعداد الطبيعية والمربعات.
إذا أمكن مطابقة مجموعتين عنصرًا بعنصر دون بقاء شيء في أي منهما، قال غاليليو، فلا يصحّ القول بصدق إن إحداهما أكبر من الأخرى. وخلص إلى أن لغة «أكثر» و«أقل» و«متساوٍ» المعتادة لا تنطبق على المجموعات اللانهائية كما تنطبق على المنتهية، وترك المسألة هناك بوصفها مفارقة حقيقية. أما المقطع المنتهي الذي تنتجه هذه الأداة فهو الظل الملموس القابل للتحقق لتلك الحجة: فلأي حد موجب، تعرض القائمة كل عدد بجانب مربعه دون تكرار أو فجوة في أي من الجانبين.
التقابل واحد لواحد، مجسَّدًا ومرئيًا
التقابل واحد لواحد، أو الدالة التبادلية (التقابل)، هو إقران يُطابَق فيه كل عنصر من المجموعة الأولى مع عنصر واحد لا غير من المجموعة الثانية، دون أن يُترك شيء في أي منهما دون مقابل أو يُقرن مرتين. الدالة التي ترسل كل عدد طبيعي n إلى مربعه n² هي بالضبط إقران من هذا النوع: فالأعداد المختلفة تعطي دائمًا مربعات مختلفة، وكل مربع ينشأ من جذر موجب واحد. عندما ترسل حدًّا إلى هذه القدرة، تحتوي الاستجابة على سجل واحد لكل عدد طبيعي من 1 حتى ذلك الحد، ويحمل كل سجل العدد ومربعه.
يكشف فحص الأزواج عن الخاصيتين المميزتين بالملاحظة المباشرة: أولًا، يمر عمود n بكل عدد طبيعي في النطاق مرة واحدة تمامًا، فيكون الإقران شاملًا وأحادي القيمة. وثانيًا، لا يحتوي عمود المربع على تكرار، لأن دالة التربيع متزايدة تمامًا على الأعداد الصحيحة الموجبة. يُقبل أي حد حتى عشرة آلاف، وهو ما يُبقي الناتج صغيرًا بما يكفي لقراءته كاملًا مع إبقاء حجة الكثافة واضحة: فعند الحد الأقصى لا تشغل المربعات سوى واحد بالمئة من النطاق.
من مفارقة غاليليو إلى نظرية كانتور للمجموعات اللانهائية
عامل غاليليو المفارقة بوصفها تحذيرًا من أن اللانهاية تقاوم المقارنة اليومية، وبقيت الرياضيات عند هذا الحد نحو قرنين ونصف. وفي سبعينيات القرن التاسع عشر قلب جورج كانتور الملاحظة رأسًا على عقب وجعلها تعريفًا: فالمجموعتان، منتهيتان كانتا أم لانهائيتين، لهما العدد الكاردينالي نفسه بالضبط عندما يوجد بينهما تقابل واحد لواحد. وبموجب هذا التعريف، فإن الأعداد الطبيعية والمربعات الكاملة متساويتان في الحجم حقًّا، وكذلك الأعداد الزوجية والأعداد الصحيحة، وهي الحقيقة التي وجدها غاليليو أغرب من أن يقبلها.
ثم برهن كانتور أن ليست كل المجموعات اللانهائية تقابل الأعداد الطبيعية — فالأعداد الحقيقية لا تقابلها كما هو معروف — ومن ثم فإن للّانهاية أحجامًا مختلفة بالفعل، لكنها تُقاس بالمطابقة لا بالعدّ. إن العمل على إقرانات منتهية صريحة، كما تنتجه هذه الأداة، هو الطريق المعتاد في قاعات الدراسة إلى تلك النظرية: فالنمط 1-1، 2-4، 3-9 تقابل يمكن رؤيته، وتمديده ذهنيًا إلى ما بعد أي حد هو بالضبط الخطوة التي صاغها كانتور.
حالات الاستخدام
دروس نظرية المجموعات واللانهاية
يمكن للمعلمين الذين يقدّمون التقابلات ومفهوم كانتور للعدد الكاردينالي عرض إقران العدد بمربعه صراحةً لحد مختار بدلًا من رسمه يدويًا على السبورة.
مجموعات قراءة تاريخ الرياضيات
يمكن للمجموعات التي تدرس كتاب غاليليو «العلمين الجديدين» إعادة إنتاج التقابل نفسه الذي يصفه سالفياتي وفحص كثافة المربعات ضمن أي نطاق منتهٍ.
التوليد البرمجي لجداول المربعات
يمكن للدفاتر التفاعلية والعروض التوضيحية وبيانات الاختبار التي تحتاج جدولًا موثوقًا يضم n إلى جانب n² من 1 إلى حد معين أن تحصل عليه في استدعاء حتمي واحد.
الأسئلة الشائعة
ما هي مفارقة غاليليو للّانهاية؟
لاحظ غاليليو عام 1638 أنه رغم ندرة المربعات الكاملة المتزايدة بين الأعداد الطبيعية، فإن كل عدد طبيعي n يقترن تمامًا بمربعه n²، فيمكن مطابقة المجموعتين اللانهائيتين واحدًا لواحد — وهو تناقض مع التصورات اليومية لـ«أكثر» و«أقل».
ما القيم المقبولة للإدخال؟
تُقبل الأعداد الصحيحة الموجبة من 1 إلى 10000 فقط.
لماذا يُظهر هذا أن المجموعتين لهما الحجم نفسه؟
الإقران دالة تبادلية: يظهر كل عدد طبيعي مرة واحدة تمامًا في عمود n، ويظهر كل مربع مدرج مرة واحدة تمامًا في عمود المربع. وبما أنه لا يُترك شيء في أي من الجانبين دون مقابل أو مكرر، فلا يمكن أن تفوق إحدى المجموعتين الأخرى عددًا.
كم تبلغ تكلفة كل استدعاء؟
ويعمل منطق الإقران نفسه مجانًا أيضًا في أداة المتصفح.
كم عدد المربعات الكاملة بين أول 100 عدد؟
عشرة فقط، وبين أول 10000 عدد لا يوجد سوى 100 مربع. تواصل النسبة هبوطها نحو الصفر، ومع ذلك يبقى لكل عدد طبيعي مربعه الخاص دون استثناء.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/galileos-paradox-of-infinity \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"limit":10}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/galileos-paradox-of-infinity", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"limit": 10
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/galileos-paradox-of-infinity",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"limit": 10
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/galileos-paradox-of-infinity", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"limit":10}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"limit":10}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/galileos-paradox-of-infinity", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"limit": 10
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.galileos_paradox_of_infinity",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الحدود
max_limit | 10000 |
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
من مفارقة غاليليو إلى نظرية كانتور للمجموعات اللانهائية
أما سلوك الخطأ فبسيط وحتمي أيضًا: أي حد ليس عددًا صحيحًا موجبًا أو يتجاوز عشرة آلاف يُرفض بخطأ invalid_input يذكر الحقل المخالف.
أسئلة تقنية
كيف أحصل على الإقران باستخدام هذا الـ API؟
أرسل جسم JSON يحتوي على حقل صحيح موجب 'limit' إلى math.galileos_paradox_of_infinity. تسرد الاستجابة الأزواج، سجلًا واحدًا لكل n من 1 حتى limit مع مربعه، إضافة إلى عدد الأزواج.