Wurzel vereinfachen
Bringen Sie eine Quadratwurzel in die einfachste Form: Aus √12 wird 2√3 und aus √50 wird 5√2, wobei der herausgezogene Faktor und der quadratfreie Rest unter der Wurzel getrennt angezeigt werden. Für ganze Zahlen bis eine Billion. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- N
- 12
- Koeffizient
- 2
- Radikand
- 3
- Vereinfacht
- 2√3
- Ausdruck
- √12 = 2√3
Die irreduzible Wurzelgestalt ist die algebraische Gewohnheit, eine Quadratwurzel so umzuschreiben, dass die ganze Zahl unter dem Wurzelzeichen keinen quadratischen Faktor mehr verbirgt. Lernende begegnen ihr, wenn √12 zu 2√3, √50 zu 5√2 oder √72 zu 6√2 wird, und verlieren Punkte, wenn eine Vier oder eine Neun in der Wurzel bleibt. Dieser Rechner zum Vereinfachen von Wurzeln nimmt eine einzige positive ganze Zahl n entgegen, zieht den größten Quadratfaktor heraus und liefert den Koeffizienten zusammen mit dem quadratfreien Radikanden, der unter der Wurzel bleibt. Fehlgeschlagene Prüfung wird nicht berechnet.
Was die irreduzible Form bedeutet und wie der Koeffizient entsteht
Die Quadratwurzel einer positiven ganzen Zahl n ist bereits in irreduzibler Form, wenn n keinen quadratischen Faktor größer als eins besitzt. Die Identität hinter jeder Lehrbuchübung lautet: √(a²b) entspricht a√b, sobald a und b positive ganze Zahlen sind und b quadratfrei ist. Dieses a zu finden heißt, die größte ganze Zahl zu ziehen, deren Quadrat n noch teilt: Teilen Sie n durch jenes Quadrat, behalten Sie den Quotienten als restlichen Radikanden, und die gezogene ganze Zahl ist der Koeffizient.
Klassische Prüfungen: √8 entspricht 2√2, √12 entspricht 2√3, √18 entspricht 3√2, √32 entspricht 4√2, √50 entspricht 5√2 und √72 entspricht 6√2. Ist n selbst eine Quadratzahl, so ist der restliche Radikand eins und die vereinfachte Form nur die ganzzahlige Wurzel: √16 entspricht 4, √36 entspricht 6, √100 entspricht 10. Ist n bereits quadratfrei, so ist der Koeffizient eins und die Wurzel bleibt √n; √7, √11 und √15 sind also schon fertig.
Nichts wird mit einer Gleitkommawurzel angenähert. Die Faktorisierung läuft über exakte ganzzahlige Quadrate, sodass ein Beinahetreffer wie 48 nie zu einer falschen Quadratzahl wird und keine Vier unter der Wurzel zurücklässt.
Wo ein Rechner zum Vereinfachen von Wurzeln sich lohnt
Unterricht und Nachhilfeplattformen nutzen einen Rechner zum Vereinfachen von Wurzeln, damit Lernende gezogene Koeffizienten beliebiger positiver ganzer Zahlen prüfen, ohne von Hand einen Faktorbaum aufzustellen und ein Quadrat zu übersehen. Klausurengeneratoren brauchen ein deterministisches Orakel, das übrig gebliebene Quadratfaktoren als falsch wertet und Null oder eine negative Zahl als ungültige Eingabe zurückweist, statt still eine komplexe Wurzel zu liefern. Wer Arbeitsblätter und learning-management-Erweiterungen baut, kann Hunderte von √n-Aufgaben prägen und neben jedem Stamm den amtlichen Koeffizienten und den restlichen Radikanden ablegen.
Fehlgeschlagene Prüfung verbraucht kein vorausbezahltes Guthaben. Halten Sie Anfragen klein, heften Sie den gelieferten coefficient und radicand in Tests fest, und Sie erhalten reproduzierbare irreduzible Antworten für Hausaufgaben, LMS-Erweiterungen und edge workers, ohne eine eigene Infrastruktur für symbolische Mathematik aufzubauen.
Anwendungsfälle
Kontrolle im Unterricht und bei Hausaufgaben
Lassen Sie Lernende eine positive ganze Zahl n senden und prüfen, dass √n auf den amtlichen Koeffizienten und den quadratfreien Radikanden reduziert, einschließlich der ganzzahligen Antwort, wenn n eine Quadratzahl ist.
Arbeitsblätter und Inhaltserzeugung
Prägen Sie √n-Übungsaufgaben und speichern Sie neben jedem Stamm den vereinfachten Koeffizienten plus restlichen Radikanden, ohne eine Computeralgebrabibliothek zu importieren.
Häufige Fragen
Was geschieht, wenn n keine positive ganze Zahl ist?
Null, Negative, Brüche und fehlendes n werden abgelehnt und nicht berechnet.
Was liefert der Rechner bei einer Quadratzahl?
Zum Beispiel liefert √16 coefficient 4 und simplified 4.
Nutzt die Engine eine Gleitkomma-Quadratwurzel?
Nein. Sie zieht Quadratfaktoren mit exakter Ganzzahlarithmetik, sodass der restliche Radikand quadratfrei bleibt und goldens Byte für Byte vergleichen.
Wie vereinfache ich die Wurzel aus 72?
Suchen Sie die größte Quadratzahl, die 72 teilt, nämlich 36. Ihre Wurzel, 6, kommt vor die Wurzel und 2 bleibt darunter, also wird √72 zu 6√2.
Woran erkenne ich, dass eine Wurzel ganz vereinfacht ist?
Daran, dass die Zahl unter der Wurzel außer eins keinen quadratischen Teiler mehr hat. √7, √11 und √15 sind schon fertig; √48 dagegen nicht, denn darin steckt noch ein Quadrat, und es wird zu 4√3.
Bis zu welcher Zahl kann ich Wurzeln vereinfachen?
Für jede ganze Zahl von 1 bis eine Billion. Gerechnet wird durchgehend mit ganzen Zahlen statt mit Näherungen, sodass auch bei großen Werten kein Quadrat übersehen und nichts gerundet wird.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/radical \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":12}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/radical", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 12
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/radical",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 12
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/radical", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":12}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":12}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/radical", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"n": 12
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.radical",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Limits
max_n | 1000000000000 |
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Dasselbe deterministische Modul speist das kostenlose Browser-Werkzeug und die API, sodass eine Hausaufgabenkontrolle und ein Bewertungsskript bei derselben ganzen Zahl nie voneinander abweichen. Erfolgreiche API-Aufrufe nutzen den veröffentlichten Grundpreis $0.002, ohne Modell-Tokens und ohne ausgehende Netzanfragen.
Was die irreduzible Form bedeutet und wie der Koeffizient entsteht
Diese Fähigkeit kodiert genau diesen Vertrag: Das Feld n ist der ursprüngliche Radikand, coefficient ist die gezogene ganze Zahl, radicand ist der quadratfreie Rest, is_perfect_square ist nur dann true, wenn dieser Rest eins ist, simplified ist die knappe Unterrichtszeichenkette, und expression formuliert √n gleich jener Zeichenkette.
Eingabevertrag, Algorithmus und wie Fehler gemeldet werden
Die Engine faktorisiert n, indem sie jedes Quadrat i zum Quadrat zieht, das den Rest noch teilt, zuerst Faktoren von vier, danach ungerade Probe-Ganzzahlen, mit exakter BigInt-Arithmetik, damit Produkte bis zur veröffentlichten Grenze präzise bleiben. Beispiel: n gleich zweiundsiebzig ergibt coefficient sechs und radicand zwei. Fehlgeschlagene Prüfung verbraucht kein vorausbezahltes Guthaben. Halten Sie n innerhalb der erklärten Grenze; ein Radikand größer als eine Billion wird abgelehnt, statt eine unbegrenzte Faktorschleife laufen zu lassen. Verbinden Sie die Antwort mit Ihrer eigenen Satztechnik, wenn Sie ein gezeichnetes Wurzelzeichen brauchen; dieser Endpunkt liefert nur die Zahlen und einen Klartextausdruck. Senden Sie per POST einen JSON-Körper mit dem Pflichtfeld n, einer positiven ganzen Zahl von eins bis einer Billion. Derselbe Wert wird unter den Aliassen value, number und radicand angenommen, damit Formulare und Abfragezeichenketten einen Vertrag teilen. Jeder darf als JSON-Ganzzahl oder als ganze Dezimalzeichenkette ankommen; ein optionales führendes Plus ist erlaubt; Brüche, eingebettete Leerzeichen, wissenschaftliche Schreibweise in Zeichenketten, führende Nullen, die Null selbst, Negative, nichtendliche Zahlen und fehlende Felder scheitern mit invalid_input unter Nennung von n. Bei Erfolg gibt der Körper n zurück und liefert coefficient, radicand, is_perfect_square, simplified und expression. Beispiel: n gleich zwölf ergibt coefficient zwei, radicand drei, is_perfect_square false, simplified 2√3 und expression √12 = 2√3. Beispiel: n gleich sechzehn ergibt coefficient vier, radicand eins, is_perfect_square true und simplified 4.
Wo ein Rechner zum Vereinfachen von Wurzeln sich lohnt
Ingenieur- und Wissenschaftsnotizen reduzieren manchmal verschachtelte Wurzeln nach einem pythagoreischen Schritt oder einer Varianzformel auf einen quadratfreien Radikanden, bevor ein Ergebnis erscheint; ein kleiner parse-API-Aufruf erspart ein vollständiges Computeralgebrasystem für eine einzige ganze Zahl. Weil die Umsetzung reines parse der Stufe tier A ist, kostet jeder erfolgreiche Aufruf den veröffentlichten Grundpreis $0.002, ohne Modell-Tokens und ohne ausgehende Netzanfragen.
Integrationsbeispiele
Automatische Klausur- und LMS-Bewertung
Bewerten Sie Aufgaben zur irreduziblen Form mit einem deterministischen Orakel, das Null und Negative als invalid_input zurückweist und nie ein verstecktes Quadrat unter der Wurzel lässt.
Technische Fragen
Wie vereinfacht man eine Quadratwurzel √n?
Senden Sie eine positive ganze Zahl n (Aliasse value, number, radicand). Die API liefert coefficient und radicand, sodass √n = coefficient × √radicand gilt, plus eine knappe Zeichenkette simplified wie 2√3.
Was kostet der Rechner zum Vereinfachen von Wurzeln?
Das Browser-Werkzeug ist kostenlos. API-Anfragen nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 je erfolgreichem Aufruf; ungültige Eingabe wird nicht berechnet.