Subfakultät-Rechner
Zählen Sie die fixpunktfreien Anordnungen von n Dingen, bei denen nichts an seinem ursprünglichen Platz bleibt: Die Subfakultät von 4 ist 9, und Sie erhalten zusätzlich die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliges Mischen eine davon ergibt. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- Anzahl der Elemente n
- 0
- Anzahl der Derangements
- 1
- Derangement-Wahrscheinlichkeit
- 1
Berechnet die Subfakultät ! n, die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen von n Elementen — Permutationen, in denen nichts an seiner ursprünglichen Stelle bleibt. Aus einer Ganzzahl n gibt sie die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen und die Wahrscheinlichkeit zurück, dass eine zufällige Permutation fixpunktfrei ist.
Was die Subfakultät zählt und die verwendete Reihe
Die Subfakultät ! n zählt fixpunktfreie Permutationen: die Permutationen von n verschiedenen Elementen, bei denen kein Element an seiner ursprünglichen Stelle verbleibt. Diese Fähigkeit wertet sie aus der alternierenden Reihe !
n = n! · Σ (−1)^k / k! aus, wobei k von 0 bis n läuft, was das klassische Ergebnis der Inklusion und Exklusion ist. Die Implementierung akkumuliert diese Summe Term für Term und baut dabei k!
inkrementell auf, multipliziert dann mit n! und rundet auf die nächste Ganzzahl, um das Fließkommarauschen zu absorbieren, sodass der zurückgegebene Wert eine exakte ganzzahlige Anzahl ist. Die ersten Werte sind !
0 = 1, ! 1 = 0, ! 2 = 1, ! 3 = 2, ! 4 = 9 und ! 5 = 44.
Die einzige leere Permutation von null Elementen ist trivialerweise fixpunktfrei, weshalb ! 0 = 1 ist, während ein einzelnes Element sich nie bewegen kann, sodass ! 1 = 0 ist.
Die Wahrscheinlichkeit und ihr Bezug zu 1/e
Neben der Anzahl gibt das Werkzeug probability zurück, die Chance, dass eine gleichmäßig zufällig gezogene Permutation von n Elementen fixpunktfrei ist, berechnet als value / n! Da die obige Reihe genau die abgeschnittene Taylor-Entwicklung von e^(−1) ist, konvergiert diese Wahrscheinlichkeit mit wachsendem n sehr rasch gegen 1/e ≈ 0.367879. Sie ist bereits bei kleinem n nah dran: !
4 = 9 von 4! Die Wahrscheinlichkeit wird standardmäßig half-up auf sechs Nachkommastellen gerundet. Dies ist der mathematische Kern des klassischen Garderoben- oder Wichtelproblems, bei dem sich die Antwort kaum ändert, sobald die Gruppe größer als eine Handvoll Personen ist.
Eingabebereich, Rundung und Prüfung
Die einzige erforderliche Eingabe ist n, das eine Ganzzahl von 0 bis 20 sein muss. Die obere Schranke von 20 ist bewusst gewählt: 20! ist etwa 2.43 × 10^18, nahe an dem, was eine Fließkommazahl doppelter Genauigkeit exakt darstellt, sodass die Deckelung von n die ganzzahlige Anzahl exakt hält, statt stillschweigend an Genauigkeit zu verlieren.
Der optionale Parameter decimals steuert die half-up-Rundung der Wahrscheinlichkeit.
Anwendungsfälle
Wichteln und Geschenketausch
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällige Ziehung niemanden sich selbst zuweist, oder zählen Sie die gültigen fixpunktfreien Permutationen, bevor Sie eine Geschenk- oder Partnerzuordnung ausführen.
Kombinatorik im Studium
Erzeugen Sie exakte !n-Werte und die Inklusions-Exklusions-Wahrscheinlichkeit, um Lösungsschlüssel zu erstellen oder hergeleitete Formeln gegen die geschlossene Reihe zu prüfen.
Entwurf randomisierter Tests
Beziffern Sie, wie wahrscheinlich eine gemischte Permutation ein Element an seinem Platz belässt — nützlich beim Erzeugen von Verwürfelungen, die jedes Element bewegen müssen.
Häufige Fragen
Was ist eine Subfakultät?
Die Subfakultät ! n ist die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen von n Elementen — Permutationen, bei denen kein Element an seiner ursprünglichen Stelle bleibt — gegeben durch n! ·Σ(−1)^k/k!.
Warum ist !0 gleich 1 und !1 gleich 0?
Die leere Permutation von null Elementen ist trivialerweise fixpunktfrei, sodass ! 0 = 1; ein einzelnes Element kann seinem eigenen Platz nicht ausweichen, sodass ! 1 = 0.
Was ist die Wahrscheinlichkeit einer fixpunktfreien Permutation?
Es ist value / n!, die Chance, dass eine zufällige Permutation fixpunktfrei ist. Sie konvergiert mit wachsendem n rasch gegen 1/e ≈ 0.367879.
Welche Werte von n sind erlaubt?
n muss eine Ganzzahl von 0 bis 20 sein; die Deckelung hält die Anzahl in doppelter Genauigkeit exakt.
Auf wie viele Arten können 5 Personen Lose ziehen, ohne dass jemand sich selbst zieht?
Auf 44 Arten, die Subfakultät von 5. Bei vier Personen sind es 9 von 24 möglichen Ziehungen, und der Rechner macht daraus eine Wahrscheinlichkeit von 0,375, damit Sie ein Wichteln vorher einschätzen können.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/subfactorial \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":4}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/subfactorial", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 4
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/subfactorial",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/subfactorial", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":4}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/subfactorial", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"n": 4
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.subfactorial",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Die Wahrscheinlichkeit und ihr Bezug zu 1/e
(und für n = 0 als 1 definiert). = 24 ergibt 0.375, und ab n = 6 oder 7 ist der Wert bei alltäglicher Genauigkeit nicht mehr von 1/e zu unterscheiden.
Eingabebereich, Rundung und Prüfung
Eine nicht ganze Zahl, ein negativer Wert oder ein n über 20 löst einen typisierten invalid_input-Fehler mit der Meldung "n inválido" aus, sodass ein Formular oder Client anhand des Fehlercodes reagieren kann, ohne Text zu parsen.
Technische Fragen
Ist es kostenlos und wie automatisiere ich es?
Das tier-A-Widget läuft kostenlos in Ihrem Browser; die deterministische API liefert denselben value und dieselbe probability als JSON ab $0.002 pro Aufruf.