劣階乗の計算ツール
n個のものを、どれも元の位置に残らないように並べる方法の数を数えます。4の劣階乗は9で、ランダムに並べ替えたときにそうなる確率も分かります。ブラウザで無料で使えます。
- 無料
- ブラウザで動作
- 登録不要
- データは端末の外に出ません
無料で実行
計算例
- 要素数 n
- 0
- 完全順列の数
- 1
- 完全順列の確率
- 1
劣階乗 ! n、すなわち n 個の要素の完全順列の数を計算します。完全順列とは、どの要素も元の位置に残らない順列のことです。整数 n から、完全順列の数と、無作為な順列が完全順列となる確率を返します。
劣階乗が数えるものと、用いる級数
劣階乗 ! n は完全順列、すなわち n 個の相異なる要素のうちどれも元の位置に残らない順列を数えます。この機能は交代級数 ! n = n!· Σ (−1)^k / k!（
k は 0 から n まで）でこれを評価します。これは古典的な包除原理の結果です。実装では k! を逐次的に構築しながらこの和を項ごとに累積し、その後 n!
を掛けて最も近い整数に丸め、浮動小数点の誤差を吸収します。したがって返される値は正確な整数の個数です。最初の値は ! 0 = 1、!
1 = 0、! 2 = 1、!3 = 2、! 4 = 9、!5 = 44 です。 0 個の要素の唯一の空順列は自明に完全順列なので !
0 = 1 となり、一方で 1 個の要素は決して動けないため !1 = 0 となります。
完全順列となる確率と 1/e とのつながり
個数に加えてこのツールは probability、すなわち n 個の要素の順列を一様な無作為に選んだとき完全順列となる確率を返します。これは value / n!上記の級数は e^(−1) のテイラー展開を打ち切ったものそのものなので、この確率は n が増えるにつれて 1/e ≈ 0.367879 へ非常に速く収束します。
小さな n でも既に近く、!確率は既定で half-up により小数第 6 位に丸められます。これは古典的な帽子預かり問題やシークレットサンタ問題の数学的な核心であり、集団が数人を超えると答えはほとんど変わりません。
入力範囲、丸め、検証
唯一の必須入力は n で、0 から 20 の整数でなければなりません。上限を 20 としたのは意図的です。20! はおよそ 2.43 × 10^18 で、倍精度浮動小数点が正確に表現できる限界付近にあります。
そのため n を制限することで、完全順列の整数個数を暗黙のうちに精度を失うことなく正確に保ちます。任意指定の decimals パラメータは確率の half-up の丸めを制御します。出力は決定的であり、同じ n は常に同じ value と probability を返すため、結果は安定した回帰用フィクスチャとしても機能します。
活用例
シークレットサンタと贈り物交換
贈り物や相手の割り当てを行う前に、無作為な抽選で誰も自分自身に割り当てられない確率を計算したり、有効な完全順列の数を数えたりします。
組合せ論の講義
正確な !n の値と包除原理による確率を求め、解答例の作成や、閉じた形の級数に対する導出公式の検証に役立てます。
無作為化テストの設計
シャッフルした順列で要素が元の位置に残る確率を定量化します。すべての要素を必ず動かすシャッフルを生成する際に有用です。
よくある質問
劣階乗とは何ですか？
劣階乗 ! n は n 個の要素の完全順列の数、すなわちどの要素も元の位置に残らない順列の数で、n!·Σ(−1)^k/k! で与えられます。
なぜ !0 は 1 で !1 は 0 なのですか？
0 個の要素の空順列は自明に完全順列なので !0 = 1 です。 1 個の要素は自分の位置を避けられないので !1 = 0 です。
完全順列となる確率とは何ですか？
value / n! であり、無作為な順列が完全順列となる確率です。n が増えるにつれて 1/e ≈ 0.367879 へ急速に収束します。
許容される n の値はどれですか？
n は 0 から 20 の整数でなければなりません。この上限は倍精度で個数を正確に保ちます。
5人で名前を引いて、誰も自分を引かない方法は何通りですか？
44通りで、これが5の劣階乗です。4人なら24通りの引き方のうち9通りで、その割合は確率0.375として表示されるので、プレゼント交換の前に見通しを立てられます。
関連ツール
開発者向け — APIアクセス
このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。
エンドポイント
Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。
お使いのスタックから呼び出す
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/subfactorial \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":4}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/subfactorial", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 4
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/subfactorial",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/subfactorial", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":4}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/subfactorial", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)リクエスト例
{
"n": 4
}レスポンス例
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.subfactorial",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。
料金
単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。
エラー
| HTTP | コード | 意味 |
|---|---|---|
401 | unauthorized | APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。 |
402 | insufficient_balance | 残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。 |
404 | unknown_type | 指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。 |
429 | rate_limited | リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。 |
技術的な注記
完全順列となる確率と 1/e とのつながり
として計算され、n = 0 では 1 と定義されます。4 = 9 を 4! = 24 で割ると 0.375 になり、n = 6 や 7 になると日常的な精度では 1/e と区別がつきません。
入力範囲、丸め、検証
非整数、負の値、または 20 を超える n は、メッセージ "n inválido" を伴う型付きの invalid_input エラーを発生させます。これによりフォームやクライアントは文章を解析せずにエラーコードで反応できます。たとえば同梱の例では n = 0 が value 1、probability 1 を返します。
技術的な質問
無料ですか。また自動化はどうすればよいですか。
tier A の widget はブラウザ上で無料で動作します。決定的な API は同じ value と probability の JSON を 1 回あたり $0.002 で返します。