Quadratische Gleichung lösen
Geben Sie a, b und c ein und erhalten Sie beide Lösungen samt Diskriminante: x² − 3x + 2 = 0 hat die Diskriminante 1 und die Lösungen 2 und 1. Bei negativer Diskriminante erscheint ein komplexes Paar, jede Lösung auf sechs Nachkommastellen. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- Koeffizient A
- 1
- Koeffizient B
- -3
- Koeffizient C
- 2
- Diskriminante
- 1
- Art der Nullstellen
- two_real
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Wie die Formel die Lösungen findet
Jede quadratische Gleichung lässt sich schreiben als a mal x zum Quadrat, plus b mal x, plus c, gleich null. Der Rechner bestimmt zuerst die Diskriminante, b zum Quadrat minus vier mal a mal c, mit exakter Ganzzahlarithmetik. Dann wendet er die bekannte Formel an: minus b, plus oder minus die Wurzel aus der Diskriminante, alles geteilt durch zwei mal a. Nehmen Sie x² − 3x + 2 = 0. Hier ist a gleich 1, b gleich −3 und c gleich 2, die Diskriminante also 9 minus 8, das ist 1. Ihre Wurzel ist 1, und die Lösungen sind 4 geteilt durch 2 und 2 geteilt durch 2, also 2 und 1.
Ergebnis lesen und typische Fehler vermeiden
Ist die Diskriminante negativ, gibt es keine reelle Lösung; die beiden Lösungen erscheinen mit Real- und Imaginärteil, die einander spiegeln, als konjugiertes Paar. Der häufigste Fehler beim Rechnen von Hand ist das Vorzeichen von b: In x² − 3x + 2 ist b gleich −3, nicht 3, und die Formel beginnt mit minus b. Ein weiterer ist, zu vergessen, dass zwei mal a den ganzen Zähler teilt. Die Koeffizienten müssen ganze Zahlen bis höchstens eine Million im Betrag sein, der erste darf nicht null sein. Gleichungen höheren Grades werden hier nicht gelöst.
Half-up-Wurzeln ohne Math.sqrt-Rauschen
Reelle Wurzeln nutzen die klassische Formel x gleich minus b plus oder minus die Wurzel aus D, alles geteilt durch zwei a. Die Wurzel kommt aus ganzzahligem isqrt von n mal S im Quadrat, wobei S eine Million ist, dann half-up auf sechs Stellen. Die Division nutzt symmetrisches half-up, das Hälften von null wegbewegt.
Komplexe Wurzeln wenden denselben skalierten Pfad auf den Absolutbetrag von D an, damit die Imaginärteile konjugiert bleiben, auch wenn a negativ ist. Weil jeder Schritt ganzzahlig ist, erzeugen zwei unabhängige Orakel nach den signierten Regeln auf allen Vektoren dieselben Strings.
Reihenfolge der Wurzeln und praktische Grenzen
x1 ist immer der Plus-Zweig und x2 der Minus-Zweig der quadratischen Formel. Bei komplexen Lösungen trägt der Imaginärteil von x1 das Vorzeichen aus der Division der skalierten Wurzel durch zwei a, und x2 kehrt dieses imaginäre Vorzeichen um. Die Ausgabe ruft kein Netz auf, liest keine Systemuhr und hängt nicht vom Locale ab.
Version eins lässt bewusst nicht-ganzzahlige Koeffizienten, symbolische Faktorisierung und höhere Polynome weg, damit der Vertrag kurz und prüfbar bleibt.
Anwendungsfälle
Hausaufgaben
Wurzeln monischer und nicht monischer Quadrate prüfen.
Komplexe Zahlen
Konjugierte Paare zeigen, wenn D negativ ist.
Pipeline-Tests
Sechs-Dezimal-Strings in der CI festnageln.
Einfache Modelle
Charakteristische Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten lösen.
Häufige Fragen
Nutzt es float Math.sqrt?
Nein. Das Orakel ist ganzzahliges isqrt plus skaliertes half-up.
Was sagt mir die Diskriminante?
Die Diskriminante ist b zum Quadrat minus vier mal a mal c. Ist sie positiv, gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen, ist sie null, eine doppelte Lösung, und ist sie negativ, bilden die Lösungen ein konjugiert komplexes Paar.
Welche Lösung ist x1 und welche x2?
Die erste Lösung nutzt in der Formel immer das Plus vor der Wurzel, die zweite das Minus. Für x² − 3x + 2 = 0 ergibt das zuerst 2 und dann 1.
Was passiert, wenn a null ist?
Die Gleichung wird abgelehnt, denn ohne den quadratischen Term ist sie nicht mehr quadratisch, sondern linear. Der erste Koeffizient muss eine ganze Zahl ungleich null sein.
Wie genau werden die Lösungen angegeben?
Jede Lösung wird auf sechs Nachkommastellen gerundet, genau halbe Werte werden von null weg gerundet. Die Diskriminante selbst wird mit exakter Ganzzahlarithmetik berechnet, ohne Rundungsfehler.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/dev/quadratic-equation \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"b":-3,"c":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/dev/quadratic-equation", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"b": -3,
"c": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/dev/quadratic-equation",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"b": -3,
"c": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/dev/quadratic-equation", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"b":-3,"c":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":-3,"c":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/dev/quadratic-equation", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"a": 1,
"b": -3,
"c": 2
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "dev.quadratic_equation",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Limits
max_abs_coeff | 1000000 |
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Geben Sie die ganzzahligen Koeffizienten a, b und c der Gleichung ax² + bx + c = 0 ein und erhalten Sie die Diskriminante, die Art der Wurzeln und beide Lösungen als reelle oder komplexe Paare.
Nur ganzzahlige Koeffizienten in Version eins
Absolutwerte über einer Million werden ebenfalls abgelehnt, damit der Ganzzahlpfad begrenzt bleibt. Dieser Löser akzeptiert a, b und c als JSON-Ganzzahlen oder als kanonische Ganzzahlstrings mit optionalem Minuszeichen. Floats, Booleans, Dezimalpunkte, führendes Plus und führende Nullen wie 01 werden mit typisiertem invalid_input auf dem fehlerhaften Feld abgelehnt. Der Koeffizient a darf nicht null sein; dieser Fall wird als a_zero gemeldet, weil die Gleichung nicht mehr quadratisch wäre.
Exakte Diskriminante und drei Arten
Sie erhalten immer zwei Wurzelobjekte x1 und x2, jeweils mit Realteil re und Imaginärteil im als Strings mit genau sechs Dezimalstellen. Diese feste Form erleichtert Tabellen, Widgets und Pipelines ohne Sonderfälle für fehlende Felder. Die Diskriminante D ist b im Quadrat minus vier a c und wird mit exakter Ganzzahlarithmetik berechnet, nie mit IEEE-Gleitkomma. Ist D positiv, ist nature two_real, bei null repeated und bei negativ complex.
Technische Fragen
Darf a null sein?
Nein. Es wird a_zero gemeldet, weil es nicht mehr quadratisch wäre.
Sind Dezimalzahlen erlaubt?
Nicht in v1. Nur Ganzzahlen oder Ganzzahlstrings.
Wie genau sind die Wurzeln?
Immer sechs Dezimalstellen mit half-up.
Was ist nature?
two_real, repeated oder complex je nach Vorzeichen von D.
Im Browser kostenlos?
Ja. Das Widget ist lokal; die API nutzt $0.002.