Rechner für die pythagoreische Identität: Sinus und Kosinus
Ermitteln Sie das fehlende Verhältnis mit dem richtigen Vorzeichen: Ein Sinus von 0,6 im Quadranten II ergibt einen Kosinus von −0,8, weil der Kosinus dort negativ ist. Dazu erhalten Sie eine Probe, die wieder 1 ergibt. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- Wert
- 0,6
- Bekannt
- Sin
- Quadrant
- 2
- Genauigkeit
- 6
- Ergebnis
- -0,8
- Fehlend
- cos
- Sin
- 0,6
- Cos
- -0,8
Dieser Rechner für die pythagoreische Identität bestimmt den Kosinus aus einem bekannten Sinus oder den Sinus aus einem bekannten Kosinus. Geben Sie die bekannte Funktion, ihren Wert und den Quadranten des Winkels an. Der Rechner ermittelt mit sin²θ + cos²θ = 1 den fehlenden Betrag und setzt anschließend das vom Quadranten verlangte positive oder negative Vorzeichen. Zusätzlich liefert er beide Funktionswerte und eine numerische Prüfung der Identität.
So liefert die pythagoreische Identität den fehlenden Wert
Die grundlegende pythagoreische trigonometrische Identität lautet sin²θ + cos²θ = 1. Ist der Sinus bekannt, wird sie zu cos²θ = 1 − sin²θ umgestellt. Die Quadratwurzel ergibt dann den Betrag des Kosinus.
Ist der Kosinus bekannt, gilt entsprechend sin²θ = 1 − cos²θ; aus der Wurzel folgt der Betrag des Sinus. Entscheidend ist dabei das Wort Betrag. Eine Quadratwurzel liefert nur das nicht negative Hauptergebnis, Sinus oder Kosinus eines Winkels können jedoch negativ sein.
Deshalb verlangt dieser Rechner neben dem bekannten Wert auch den Quadranten. Er berechnet die Wurzel aus eins minus dem Quadrat des Werts und wählt danach das richtige Vorzeichen. Ein Sinus von 0.6 führt beispielsweise zu einem Kosinusbetrag von 0.8.
Im Quadranten I ist der Kosinus 0.8, im Quadranten II dagegen -0.8. Der Rechner arbeitet numerisch und gibt daher Dezimalzahlen statt symbolischer Wurzelausdrücke wie Wurzel aus drei durch zwei zurück.
Das richtige Vorzeichen mit dem Quadranten bestimmen
Die Vorzeichen folgen aus dem Einheitskreis. Im Quadranten I sind Sinus und Kosinus positiv. Im Quadranten II ist der Sinus positiv und der Kosinus negativ.
Im Quadranten III sind beide negativ. Im Quadranten IV ist der Sinus negativ und der Kosinus positiv. Vor der Ableitung prüft der Rechner das Vorzeichen Ihres eingegebenen Werts.
Dieselbe Prüfung erkennt einen negativen Sinus im Quadranten I. Der Wert muss endlich, ungleich null und strikt zwischen -1 und 1 liegen. Null und die Randwerte -1 und 1 kommen zwar bei bestimmten Winkeln vor, doch diese Winkel liegen auf den Koordinatenachsen und nicht innerhalb eines Quadranten.
Die Beschränkung auf innere Werte hält die Eingabe mathematisch stimmig und macht das Vorzeichen eindeutig.
Aufgaben, Unterricht und automatische Berechnungen prüfen
Der Rechner eignet sich für Aufgaben, in denen ein trigonometrisches Verhältnis und genügend Lageinformationen für das zweite gegeben sind. Lernende können den vorgegebenen Sinus eingeben, den genannten Quadranten wählen und den abgeleiteten Kosinus mit ihrer Rechnung vergleichen. Lehrkräfte können zeigen, warum beim algebraischen Umformen ein Plus-minus-Zeichen entsteht und wie der Quadrant die Auswahl entscheidet.
Ersteller von Arbeitsblättern erhalten einheitliche dezimale Lösungen; Lernsoftware kann unmögliche Kombinationen aus Vorzeichen und Quadrant vor einem Hinweis zurückweisen. Die Berechnung verwendet weder Netzwerk noch gespeicherten Zustand, Zufall oder aktuelle Uhrzeit. Gleiche Eingaben liefern deshalb gleiche Ausgaben und eignen sich für reproduzierbare Tests und Bewertungen.
Die interaktive Nutzung im Browser ist kostenlos. Stammt Ihr Ausgangswert aus einer gerundeten Messung, übernimmt das Ergebnis deren Unsicherheit; zusätzliche Stellen stellen fehlende Information nicht wieder her. Bei Aufgaben mit exakten Wurzeln dient die Dezimalzahl zur Kontrolle und ersetzt nicht die geforderte symbolische Herleitung.
Anwendungsfälle
Eine Trigonometrieaufgabe kontrollieren
Geben Sie Sinus oder Kosinus und den Quadranten ein, um den vorzeichenrichtigen Wert nach Ihrer Handrechnung zu prüfen.
Einheitliche Lösungsblätter erstellen
Erzeugen Sie deterministische Dezimallösungen und Identitätsprüfungen für Aufgaben mit einem Verhältnis und einem inneren Quadranten.
Normierte Koordinaten im Code prüfen
Rekonstruieren Sie die fehlende Einheitskreiskoordinate und weisen Sie Werte mit einem zum Quadranten widersprüchlichen Vorzeichen zurück.
Häufige Fragen
Welche Formel verwendet der Rechner?
Er nutzt sin²θ + cos²θ = 1, stellt nach dem Quadrat der fehlenden Funktion um, zieht die Wurzel und setzt das Vorzeichen des Quadranten.
Warum muss ich den Quadranten angeben?
Die Quadratwurzel bestimmt nur einen Betrag. Der Quadrant legt fest, ob der fehlende Sinus oder Kosinus positiv oder negativ ist.
Warum werden 0, 1 und -1 abgelehnt?
Diese Werte legen den Winkel auf eine Achse; Achsen liegen nicht innerhalb von Quadranten. Der Rechner akzeptiert nur Werte aus dem Inneren eines Quadranten.
Was geschieht bei einem falschen Vorzeichen?
Ein Kosinus kann etwa im Quadranten II nicht positiv und ein Sinus im Quadranten I nicht negativ sein.
Wie groß ist der Kosinus, wenn der Sinus 0,6 beträgt?
Sein Betrag ist 0,8, denn 1 minus 0,6 zum Quadrat ergibt das Quadrat von 0,8. Das Vorzeichen hängt vom Quadranten ab: Im Quadranten I ist der Kosinus 0,8, im Quadranten II −0,8.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/trig/pythagorean-identity-sincos \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"known":"sin","value":0.6,"quadrant":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/trig/pythagorean-identity-sincos", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"known": "sin",
"value": 0.6,
"quadrant": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/trig/pythagorean-identity-sincos",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"known": "sin",
"value": 0.6,
"quadrant": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/trig/pythagorean-identity-sincos", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"known":"sin","value":0.6,"quadrant":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"known":"sin","value":0.6,"quadrant":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/trig/pythagorean-identity-sincos", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"known": "sin",
"value": 0.6,
"quadrant": 2
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "trig.pythagorean_identity_sincos",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Die Berechnung ist deterministisch, im Browser kostenlos und kostet für Software, Arbeitsblätter oder automatisierte Lernwerkzeuge $0.002 pro erfolgreichem API-Aufruf.
So liefert die pythagoreische Identität den fehlenden Wert
Der Ausdruck unter der Wurzel wird gegen winzige Gleitkommaabweichungen abgesichert. identity_check bestätigt außerdem, dass sich die Quadrate der intern nicht gerundeten Werte zu eins addieren.
Das richtige Vorzeichen mit dem Quadranten bestimmen
Ein positiver Kosinus zusammen mit Quadrant II widerspricht sich beispielsweise und erzeugt invalid_input statt eines scheinbar brauchbaren Ergebnisses. Wählen Sie für known sin, sine, cos oder cosine, geben Sie für quadrant eine ganze Zahl von 1 bis 4 ein und stellen Sie optional mit precision null bis fünfzehn Dezimalstellen ein. Die Antwort vereinheitlicht den Namen als sin oder cos und nennt die fehlende Funktion ausdrücklich, sodass ein API-Client die Bedeutung von result nicht erraten muss.
Aufgaben, Unterricht und automatische Berechnungen prüfen
In Technik oder Computergrafik rekonstruiert die API eine normierte Koordinate aus der anderen, sofern der Quadrant bekannt ist. Die stabile Antwort enthält sin, cos, result, missing und identity_check. Ein erfolgreicher API-Aufruf kostet $0.002; Validierungsfehler erscheinen als invalid_input. precision beeinflusst die Darstellung, nicht das mathematische Verfahren.
Technische Fragen
Was kostet der Rechner?
Im Browser ist die Nutzung kostenlos. Jeder erfolgreiche API-Aufruf kostet $0.002; ungültige Eingaben werden nicht berechnet.