Heisenbergsche Unschärfe

Die Heisenbergsche Unschärferelation ist die Untergrenze, die die Quantenmechanik darüber setzt, wie scharf Ort und Impuls derselben Teilchen zugleich bekannt sein können. In einer Dimension erfüllt das Produkt dieser Unschärfen, dass delta-x mal delta-p mindestens ħ durch zwei beträgt, wobei ħ das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum h geteilt durch zwei pi ist. Dieser Rechner nimmt eine streng positive Ortsunschärfe in Metern entgegen, setzt den exakten SI-Wert von ħ aus dem Planckschen Wirkungsquantum ein und liefert die zugehörige minimale Impulsunschärfe in Kilogramm Meter pro Sekunde.

Was Δx Δp ≥ ħ/2 bedeutet und wie die Impulsuntergrenze entsteht

Die Ort–Impuls-Form der Heisenberg-Relation besagt, dass das Produkt der Standardabweichung des Orts und der Standardabweichung des Impulses nicht unter ħ durch zwei fallen kann. Die Konstante ħ ist das Plancksche Wirkungsquantum h geteilt durch zwei pi. Im Internationalen Einheitensystem ist h der exakt definierte Wert 6.62607015 mal zehn hoch minus vierunddreißig Joule-Sekunden, sodass ħ durch Division dieser Zahl durch zwei pi entsteht und keiner angepassten Tabelle bedarf.

Das Umstellen der Ungleichung für eine gegebene Ortsbreite liefert die minimale Impulsunschärfe, die diese Funktion meldet: delta-p-Minimum gleich ħ geteilt durch zwei mal delta-x. Das Ergebnis ist eine Untergrenze, keine Vorhersage einer bestimmten Messung: ein räumlich engeres Wellenpaket muss im Impuls weiter streuen, und der Rechner benennt diese Untergrenze. Der Ort wird in Metern genommen, daher lebt die Ausgabe in Kilogramm Meter pro Sekunde, der SI-Einheit des linearen Impulses.

Atomare Lokalisierungen nahe einem zehnmilliardstel Meter erzeugen Impulsuntergrenzen in der Größenordnung von zehn hoch minus fünfundzwanzig Kilogramm Meter pro Sekunde; eine millimeterweite Lokalisierung liefert eine weit kleinere Untergrenze. Der Rechner setzt weder eine reduzierte-Masse-Korrektur noch eine Zwei-Teilchen-Kovarianz noch die Zeit–Energie-Schwesterschranke ein: das sind andere Aussagen. Er deutet ħ auch nicht als h, was die Schranke um den Faktor zwei pi überhöhen würde.

Liefern Sie ein positives delta-x, und die Arithmetik ist eine einzige Division gegen eine feste Konstante, sodass identische Eingaben stets dasselbe Gleitkommaergebnis liefern.

Wo ein Heisenberg-Unschärferechner seinen Nutzen hat

Quantenkurse im Grundstudium verlangen die minimale Impulsunschärfe eines Elektrons in einem Kasten der Breite L und behandeln L als delta-x. Ein Rechner, der bei null oder negativer Breite laut fehlschlägt, ist als Orakel nützlicher als eine Tabellenzelle, die Infinity druckt und den Korrektor über die Darstellung streiten lässt. Forschungssoftware, die Übungsitems oder Monte-Carlo-Pakete erzeugt, kann diesen Endpunkt als Referenz ħ durch zwei delta-x festnageln statt ein gerundetes Lehrbuch-ħ zu kopieren, das in der neunten Stelle abweicht.

Verwenden Sie das Ergebnis in Kilogramm Meter pro Sekunde; teilen Sie selbst durch die Teilchenmasse, wenn Sie eine Geschwindigkeitsuntergrenze brauchen. Koppeln Sie die Schranke mit eigenem Wellenpaket- oder Fourier-Code, wenn die Aufgabe eine volle Verteilung statt der Heisenberg-Untergrenze verlangt.