Gram-Schmidt-Rechner

Das Gram-Schmidt-Verfahren nimmt eine Menge linear unabhängiger Vektoren und liefert eine Orthonormalbasis: gleich viele Vektoren, jeder mit Länge eins, jeder senkrecht zu allen anderen, und sie spannen exakt denselben Unterraum auf wie die ursprünglichen Vektoren. Sind die Vektoren linear abhängig, meldet der Rechner dies, statt ein falsches Ergebnis auszugeben.

Was das Gram-Schmidt-Verfahren tatsächlich tut

Orthonormalbasen erleichtern nahezu jede Berechnung in der linearen Algebra: Projektionen werden zu Skalarprodukten, Koordinaten werden trivial und numerische Fehler bleiben klein. Das Gram-Schmidt-Verfahren konstruiert eine solche Basis aus jeder unabhängigen Menge. Es nimmt den ersten Vektor und skaliert ihn auf Einheitslänge; das ist der erste Basisvektor.

Für jeden weiteren Vektor zieht es den Anteil ab, der in Richtung jedes bereits gefundenen Basisvektors zeigt – die Projektion, berechnet als Skalarprodukt – und skaliert dann das Verbleibende. Dieser Rest steht konstruktionsbedingt senkrecht auf allem Davor. Wiederholen Sie das für alle Vektoren, und Sie erhalten eine Orthonormalbasis desselben Spanns.

Der Rechner auf dieser Seite führt exakt dieses klassische Verfahren aus: Sie geben Vektoren als Arrays von Zahlen ein, alle mit derselben Dimension, und erhalten die orthonormalen Vektoren in der entsprechenden Reihenfolge. Der erste Ausgabevektor ist lediglich Ihr erster Eingabevektor, normalisiert; jede spätere Ausgabe ist der wirklich neue Anteil Ihrer Eingabe, auf Einheitslänge gebracht. Da die gesamte Berechnung schlichte Arithmetik mit Doubles ist, liefert dieselbe Eingabe stets dieselbe Ausgabe – genau das macht sie sicher für den Einbau in automatisierte Pipelines.

Warum lineare Abhängigkeit ein Fehler ist und kein Ergebnis

Gram-Schmidt hat keine sinnvolle Antwort, wenn die Eingabevektoren linear abhängig sind. Ist ein Vektor eine Kombination der vorherigen, entfernt das Subtrahieren der Projektionen ihn vollständig: Es bleibt nichts zum Normieren übrig, und eine Division durch einen Rest der Länge null wäre unsinnig. Ein Rechner, der diesen Vektor stillschweigend wegließe oder eine Nullzeile ausgäbe, würde Ihnen eine Basis liefern, die nicht zur Anzahl Ihrer Eingaben passt und einen Modellierungsfehler verbirgt.

Dieselbe Prüfung erkennt die offensichtlichen Grenzfälle: einen Nullvektor, einen doppelten Vektor oder mehr Vektoren als die Dimension des Raums, was allein durch Abzählen abhängig ist. Die Toleranz ist numerisch, nicht exakt, sodass auch nahezu abhängige Mengen aus Messrauschen gemeldet werden. Wenn Sie die Menge für unabhängig hielten, sagt Ihnen die Fehlermeldung, welchen Vektor Sie prüfen sollten – das reicht meist, um die doppelte Zeile oder den Kopierfehler in Ihren Daten zu finden.

Praktische Details: Eingabeform, Genauigkeit und Grenzen

Die Eingabe ist ein einziges Feld, vectors, als Array von Arrays endlicher Zahlen – ein inneres Array pro Vektor, alle mit derselben Dimension, bis zu 50 Vektoren der Dimension bis zu 50. Die Ausgabe nennt die Dimension, die Anzahl der erzeugten Orthonormalvektoren und die Basis selbst als Array von Einheitsvektoren. Die Komponenten werden auf sechs Nachkommastellen gerundet, sodass Ergebnisse maschinenübergreifend stabil und sicher vergleich- und speicherbar sind; jeder zurückgegebene Vektor hat die euklidische Norm 1 und steht bis auf diese Rundung senkrecht auf seinen Gefährten.

Der Rechenaufwand ist O(n² mal der Dimension), was bei diesen Grenzen Mikrosekunden bedeutet – die beobachtete Latenz ist also im Wesentlichen Transport, nicht Arithmetik. Ein nützlicher Plausibilitätscheck vor dem Senden: Kein Vektor darf der Nullvektor sein, keine zwei Vektoren dürfen gleich sein, und die Anzahl der Vektoren darf die Dimension nicht überschreiten. Für stark schlecht konditionierte Mengen in ernsthafter numerischer Arbeit bieten modifiziertes Gram-Schmidt oder eine Householder-QR-Zerlegung zusätzliche Stabilität, doch für die Größen, die dieser Rechner akzeptiert, ist das klassische Verfahren weit über die sechs gemeldeten Dezimalstellen hinaus genau.