Calculadora de Gram-Schmidt

O processo de Gram-Schmidt recebe um conjunto de vetores linearmente independentes e devolve uma base ortonormal: o mesmo número de vetores, cada um com comprimento unitário, cada um perpendicular a todos os outros, gerando exatamente o mesmo subespaço dos originais. Se os vetores forem linearmente dependentes, a calculadora avisa em vez de devolver uma resposta errada.

O que o processo de Gram-Schmidt realmente faz

Bases ortonormais facilitam quase todo cálculo de álgebra linear: projeções viram produtos escalares, coordenadas ficam triviais e os erros numéricos permanecem pequenos. O processo de Gram-Schmidt constrói uma a partir de qualquer conjunto independente. Ele pega o primeiro vetor e o redimensiona para comprimento unitário; esse é o primeiro vetor da base.

Para cada vetor seguinte, subtrai a parte que aponta na direção de cada vetor da base já encontrado — a projeção, calculada como produto escalar — e então redimensiona o que sobra. O que sobra é, por construção, perpendicular a tudo que veio antes. Repita para todos os vetores e você tem uma base ortonormal do mesmo espaço gerado.

A calculadora desta página executa exatamente esse procedimento clássico: você fornece vetores como arrays de números, todos com a mesma dimensão, e recebe os vetores ortonormais na ordem correspondente. O primeiro vetor de saída é apenas o seu primeiro vetor de entrada normalizado; cada saída posterior é a componente da entrada que é genuinamente nova, ajustada para comprimento unitário. Como todo o cálculo é aritmética simples em ponto flutuante, a mesma entrada sempre produz a mesma saída, o que torna seguro embutir em pipelines automatizados.

Por que dependência linear é um erro, não um resultado

Gram-Schmidt não tem resposta significativa quando os vetores de entrada são linearmente dependentes. Se um vetor é combinação dos anteriores, subtrair as projeções o elimina por completo: não sobra nada para normalizar, e dividir por um resto de comprimento zero não faz sentido. Uma calculadora que descartasse esse vetor em silêncio, ou devolvesse uma linha de zeros, entregaria uma base que não corresponde à quantidade de entradas e esconderia um erro de modelagem.

A mesma verificação captura os casos extremos óbvios: um vetor nulo, um vetor repetido ou mais vetores do que a dimensão do espaço, o que já é dependente só pela contagem. A tolerância é numérica, não exata, então conjuntos quase dependentes gerados por ruído de medição também são sinalizados. Se você esperava que o conjunto fosse independente, a mensagem de erro indica qual vetor inspecionar, o que geralmente basta para encontrar a linha duplicada ou o deslize de copiar e colar nos seus dados.

Detalhes práticos: formato de entrada, precisão e limites

A entrada é um único campo, vectors, fornecido como um array de arrays de números finitos — um array interno por vetor, todos com a mesma dimensão, até 50 vetores de dimensão até 50. A saída informa a dimensão, quantos vetores ortonormais foram produzidos e a própria base como um array de vetores unitários. As componentes são arredondadas para seis casas decimais, então os resultados são estáveis entre máquinas e seguros para comparar ou armazenar; cada vetor devolvido tem norma euclidiana 1 e é ortogonal aos demais até esse arredondamento.

O cálculo é O(n ao quadrado vezes a dimensão), o que, para esses limites, representa microssegundos de trabalho, de modo que a latência observada é essencialmente de transporte, não de aritmética. Uma verificação útil antes de enviar os dados: nenhum vetor pode ser o vetor nulo, não pode haver dois vetores iguais e o número de vetores não pode exceder a dimensão.

Para conjuntos muito mal condicionados em trabalho numérico sério, um Gram-Schmidt modificado ou uma decomposição QR de Householder oferece estabilidade extra, mas, para os tamanhos que esta calculadora aceita, o processo clássico é preciso muito além das seis casas decimais que informa.