Ähnlichkeit rechtwinkliger Dreiecke

Zwei rechtwinklige Dreiecke sind ähnlich, wenn ihre entsprechenden Seiten proportional sind — dieselbe Form in einem anderen Maßstab. Diese Funktion nimmt die Katheten (und optional die Hypotenuse) zweier rechtwinkliger Dreiecke entgegen und beantwortet genau diese Frage deterministisch: Sie sortiert die Katheten jedes Dreiecks, vergleicht die Kathetenverhältnisse innerhalb einer konfigurierbaren Toleranz und gibt true zurück, wenn die Seiten proportional sind — zusammen mit dem Skalierungsfaktor, der das eine Dreieck auf das andere abbildet.

Was Ähnlichkeit bei rechtwinkligen Dreiecken bedeutet

Ähnlichkeit ist eine der ältesten Ideen der Geometrie: Zwei Figuren sind ähnlich, wenn die eine eine gleichmäßige Skalierung der anderen ist. Bei rechtwinkligen Dreiecken ist die Prüfung besonders einfach, weil der rechte Winkel bereits gemeinsam ist. Wenn das Verhältnis der beiden Katheten des ersten Dreiecks dem Verhältnis der beiden Katheten des zweiten entspricht, stimmen alle Winkel überein und die Dreiecke sind ähnlich.

Sie müssen weder die Winkel, die Fläche noch die Ausrichtung kennen — der Endpunkt check similarity in right triangles reduziert die gesamte Frage auf einen Vergleich von Proportionen. Da eine Kathete jeder der beiden Katheten des anderen Dreiecks entsprechen kann, wird jedes Kathetenpaar vor dem Vergleich sortiert, sodass ein Dreieck mit den Katheten 3 und 4 korrekt als ähnlich zu einem mit den Katheten 8 und 6 erkannt wird.

Bei erfolgreicher Prüfung enthält die Antwort den Skalierungsfaktor — die einzige Zahl, mit der Sie jede Seite des ersten Dreiecks multiplizieren müssten, um das zweite zu erhalten —, sodass Sie das Ergebnis direkt in weiteren Berechnungen verwenden können, statt nur zu erfahren, dass die Formen übereinstimmen.

Wie der Vergleich berechnet wird

Jedes Dreieck wird durch seine beiden Katheten beschrieben, die Hypotenuse ist optional. Wenn Sie die Hypotenuse angeben, validiert der Endpunkt sie mithilfe des Satzes des Pythagoras gegen die Katheten und weist die Eingabe bei Widerspruch zurück — eine Hypotenuse von 6 bei den Katheten 3 und 4 ist ein Datenfehler, kein Dreieck. Der Vergleich selbst ist ein Verhältnistest: Die kürzere Kathete geteilt durch die längere muss in beiden Dreiecken innerhalb einer relativen Toleranz übereinstimmen, die standardmäßig 1e-9 beträgt und über das Toleranzfeld für Messwerte mit Rundungsrauschen erweitert werden kann.

Alle Verhältnisse in der Antwort — kürzere Kathete, längere Kathete und Hypotenuse — werden auf zehn Dezimalstellen gerundet, damit automatisierte Prüfungen und Goldstandard-Tests auf jeder Maschine eine bytestabile Ausgabe sehen. Der Algorithmus ist vollständig deterministisch: kein Zufall, keine Uhr, kein Netzwerk, nur Arithmetik.

Wo die Prüfung in der Praxis eingesetzt wird

Geometrie-Pipelines, CAD-Vorverarbeitung und Lernsoftware begegnen alle derselben Frage: Ist diese Form eine skalierte Kopie jener anderen? Eine Nachhilfeplattform kann ein Dreieck erzeugen, es skalieren und vor der Bewertung prüfen, ob die Antwort eines Schülers die Ähnlichkeit bewahrt. Ein Vermessungswerkzeug kann bestätigen, dass eine verkleinerte Zeichnung den Feldmessungen treu bleibt, aus denen sie entstanden ist.

Eine Physiksimulation kann kostengünstig sicherstellen, dass zwei Dreieckselemente ihre Winkel teilen, bevor vorberechnete Koeffizienten zwischen ihnen wiederverwendet werden. Die Antwort ist bewusst klein gehalten: ein boolescher Wert, bei Ähnlichkeit der Skalierungsfaktor und in jedem Fall die drei Seitenverhältnisse — genug, damit eine Pipeline ohne weiteres Parsen verzweigen kann.