Calculateur théorème de Ptolémée

Le théorème de Ptolémée est la relation classique qui relie les quatre côtés consécutifs d'un quadrilatère cyclique au produit de ses deux diagonales. Si a, b, c et d sont les côtés dans l'ordre d'un quadrilatère inscriptible dans un cercle, et p et q les diagonales, alors le produit p fois q égale a fois c plus b fois d. Ce calculateur du théorème de Ptolémée accepte ces quatre longueurs finies et positives, vérifie qu'elles peuvent former un quadrilatère simple fermé, et renvoie le produit des diagonales avec les produits des côtés opposés explicités, afin que vous puissiez afficher l'algèbre à côté de la réponse. Sans réseau, sans aléa et sans Date.

Ce que dit le théorème de Ptolémée pour un quadrilatère cyclique

Un quadrilatère cyclique est un polygone à quatre côtés dont tous les sommets se trouvent sur un même cercle. Cette contrainte d'inscription suffit à imposer une identité multiplicative simple entre côtés et diagonales. Étiquetez les sommets A, B, C, D dans l'ordre cyclique autour du cercle, notez a pour AB, b pour BC, c pour CD et d pour DA, et p pour la diagonale AC et q pour la diagonale BD.

Le théorème de Ptolémée affirme alors que le produit des diagonales est égal à la somme des produits des paires de côtés opposés : p multiplié par q égale a multiplié par c plus b multiplié par d.

L'énoncé se retient souvent comme une identité de longueurs de cordes qui généralise le théorème de Pythagore : lorsque le quadrilatère cyclique est un rectangle, les diagonales sont égales et chacune est l'hypoténuse des triangles rectangles formés par les côtés, de sorte que le produit retrouve le schéma familier de a au carré plus b au carré après répétition des côtés opposés.

Lorsque la figure est un carré de côté s, chaque diagonale vaut s fois la racine carrée de deux, donc le produit est deux s au carré, ce qui coïncide avec a c plus b d égal à s au carré plus s au carré.

Ce point de terminaison ne reconstruit pas les longueurs individuelles de chaque diagonale à partir des seuls côtés — cela exige en général plus de données, comme un angle ou le rayon du cercle circonscrit —, mais il renvoie le produit exact promis par Ptolémée, souvent ce que demandent les questions d'examen et les étapes algébriques intermédiaires. La formule n'utilise que des multiplications et une addition sur les quatre longueurs, donc elle est O(1), déterministe et sans solveurs itératifs ni racines sur le chemin principal.

Contrat d'entrée, validation et forme de la réponse

Tout côté négatif est rejeté avec un message clair indiquant qu'une longueur négative n'est pas valide ; zéro et les autres valeurs non positives le sont également. Les quatre longueurs positives doivent aussi satisfaire l'inégalité stricte du quadrilatère : chaque côté doit être inférieur à la somme des trois autres, sinon aucun quadrilatère simple fermé n'existe et la requête échoue avant d'appliquer Ptolémée. Les champs numériques sont arrondis à douze décimales pour des goldens stables entre runtimes.

Vérifications classiques : un rectangle de côtés trois, quatre, trois, quatre dont le produit des diagonales est vingt-cinq, et un carré de côté cinq dont le produit est cinquante. Associez l'outil gratuit du navigateur au même contrat dans des scripts afin que les devoirs et la correction en lot ne divergent jamais.

Quand le produit des diagonales vous sert

Les cours de géométrie du secondaire et de l'université demandent constamment le produit des diagonales d'un quadrilatère cyclique une fois les quatre côtés connus ; un calculateur fiable avec un filtre strict de positivité et d'inégalité accélère la correction des devoirs et élimine les erreurs de tableur où l'on multiplie des côtés adjacents au lieu de paires opposées.

Les générateurs de préparation aux examens et les correcteurs automatiques de LMS ont besoin d'un oracle déterministe qui marque les longueurs négatives et les contours impossibles comme des échecs plutôt que d'inventer un produit. Les notes d'architecture, de topographie et de fabrication connaissent parfois déjà les longueurs d'arête séquentielles d'un cadre ou d'une plaque cyclique ; le produit des diagonales alimente des contrôles intermédiaires, des estimations de contreventement et des étapes symboliques avant la reconstruction CAD de chaque diagonale. Une validation échouée ne consomme pas de solde.

Gardez les requêtes compactes, figez le produit arrondi dans les tests, et vous obtenez des résultats de Ptolémée reproductibles pour les salles de classe, les plugins LMS et les edge workers sans déployer votre propre infrastructure de géométrie symbolique. Des intentions de recherche proches mais distinctes — compter les diagonales d'un n-gone, diagonale d'un carré, ou diagonales d'un trapèze à partir des bases et de la hauteur — doivent rester sur leurs propres pages plutôt que de surcharger celle du produit cyclique.