Calculadora teorema de Ptolomeu

O teorema de Ptolomeu é a relação clássica que liga os quatro lados consecutivos de um quadrilátero cíclico ao produto de suas duas diagonais. Se a, b, c e d são os lados em ordem de um quadrilátero que pode ser inscrito em um círculo, e p e q são as diagonais, então o produto p vezes q é igual a a vezes c mais b vezes d. Esta calculadora do teorema de Ptolomeu aceita esses quatro comprimentos finitos e positivos, verifica se podem formar um quadrilátero simples fechado e devolve o produto das diagonais com os produtos dos lados opostos explícitos, para que você possa mostrar a álgebra ao lado da resposta. Sem rede, sem aleatoriedade e sem Date.

O que o teorema de Ptolomeu afirma para um quadrilátero cíclico

Um quadrilátero cíclico é um polígono de quatro lados cujos vértices estão todos em um único círculo. Essa restrição de inscrição é forte o bastante para forçar uma identidade multiplicativa simples entre lados e diagonais. Rotule os vértices A, B, C, D em ordem cíclica ao redor do círculo, escreva a para AB, b para BC, c para CD e d para DA, e p para a diagonal AC e q para a diagonal BD.

O teorema de Ptolomeu afirma então que o produto das diagonais é igual à soma dos produtos dos pares de lados opostos: p multiplicado por q é igual a a multiplicado por c mais b multiplicado por d.

O enunciado é lembrado com frequência como uma identidade de comprimentos de corda que generaliza o teorema de Pitágoras: quando o quadrilátero cíclico é um retângulo, as diagonais são iguais e cada uma é a hipotenusa dos triângulos retângulos formados pelos lados, de modo que o produto recupera o padrão familiar de a ao quadrado mais b ao quadrado após a repetição dos lados opostos.

Quando a figura é um quadrado de lado s, cada diagonal é s vezes a raiz quadrada de dois, assim o produto é dois s ao quadrado, que coincide com a c mais b d igual a s ao quadrado mais s ao quadrado. A fórmula usa apenas multiplicações e uma adição sobre os quatro comprimentos, portanto é O(1), determinística e sem solvers iterativos ou raízes no caminho principal.

Contrato de entrada, validação e formato da resposta

Qualquer lado negativo é rejeitado com mensagem clara de que um comprimento negativo não é válido; zero e demais valores não positivos também são rejeitados. Os quatro comprimentos positivos devem ainda satisfazer a desigualdade estrita do quadrilátero: cada lado deve ser menor que a soma dos outros três; caso contrário nenhum quadrilátero simples fechado existe e a solicitação falha antes de aplicar Ptolomeu. Campos numéricos são arredondados a doze casas decimais para goldens estáveis entre runtimes.

Checagens clássicas: um retângulo com lados três, quatro, três, quatro cujo produto das diagonais é vinte e cinco, e um quadrado de lado cinco cujo produto é cinquenta. Combine a ferramenta gratuita do navegador com o mesmo contrato em scripts para que revisão de tarefas e correção em lote nunca discordem.

Quando o produto das diagonais ajuda

Cursos de geometria do ensino médio e da universidade pedem com frequência o produto das diagonais de um quadrilátero cíclico quando os quatro lados são conhecidos; uma calculadora confiável com filtro estrito de positividade e desigualdade acelera a correção de tarefas e elimina erros de planilha em que alguém multiplica lados adjacentes em vez de pares opostos. Geradores de preparação para exames e autoavaliadores de LMS precisam de um oráculo determinístico que marque comprimentos negativos e contornos impossíveis como falhas em vez de inventar um produto.

Notas de arquitetura, topografia e fabricação às vezes já conhecem os comprimentos sequenciais de aresta de um quadro ou chapa cíclica; o produto das diagonais alimenta checagens intermediárias, estimativas de contraventamento e passos simbólicos antes da reconstrução completa de cada diagonal em CAD. Validação falha não consome saldo. Mantenha requisições pequenas, fixe o produto arredondado nos testes e você obtém resultados de Ptolomeu reproduzíveis para salas de aula, plugins LMS e edge workers sem levantar infraestrutura própria de geometria simbólica.

Intenções de busca relacionadas mas distintas —contar diagonais de um n-gono, diagonal de um quadrado ou diagonais de trapézio a partir de bases e altura— devem ficar em landings próprias em vez de sobrecarregar esta página de produto cíclico.