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Théorème des axes parallèles

Déplacez le moment quadratique d'une section vers un nouvel axe parallèle : 200 autour du barycentre, avec une aire de 50 et un décalage de 4, deviennent 1000, car le terme de transport ajoute 800. Le calcul porte sur l'aire, pas sur la masse. Gratuit dans votre navigateur.

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Exemple résolu

Si vous saisissez

I centroïdal: 200
Aire: 50
Distance: 4

Vous obtenez

Distance au carré: 16 m⁴
Terme de transfert: 800
I par rapport à l'axe parallèle: 1 000

Le théorème des axes parallèles, aussi appelé théorème de Steiner, transporte le moment d'inertie d'une section d'un axe barycentrique vers n'importe quel axe parallèle dès que l'on connaît l'aire de la section et la distance perpendiculaire entre ces axes. Les étudiants en résistance des matériaux, les ingénieurs structures et les concepteurs de machines ont constamment besoin de ce transfert : le catalogue donne Ī par rapport au barycentre, mais l'axe de flexion se trouve à une semelle, à une soudure ou à l'axe neutre d'une poutre composée. Ce calculateur du théorème des axes parallèles accepte le second moment barycentrique Ī, l'aire A et le décalage d, puis renvoie I égal à Ī plus A fois d au carré en unités cohérentes de longueur à la puissance quatre.

Ce que dit le théorème des axes parallèles et pourquoi I = Ī + A · d²

Une section plane possède un moment quadratique, souvent noté Ixx ou Iyy, qui mesure la répartition de son aire autour d'un axe de son plan. Cette grandeur est minimale autour d'un axe passant par le barycentre, conventionnellement écrite Ī ou I_bar.

Si vous avez besoin de l'inertie de la même section autour d'un autre axe resté parallèle au premier, le théorème des axes parallèles ajoute un terme de transport : I égal à Ī plus A fois d au carré, où A est l'aire de la section et d la distance perpendiculaire entre les deux axes. Le supplément A d² est exactement la contribution obtenue en concentrant toute l'aire au barycentre puis en éloignant cette masse ponctuelle d'aire d'une distance d du nouvel axe.

L'identité sert chaque fois qu'un profilé laminé est soudé hors de l'axe neutre d'une poutre composée, qu'un trou est décalé du barycentre d'une tôle, ou qu'un rectangle est pris par rapport à sa base plutôt qu'à mi-hauteur. Ce n'est ni une conversion d'unités ni une table de coefficients de forme : il faut déjà connaître Ī autour d'un axe barycentrique de la pièce déplacée. Le cousin d'inertie massique I égal à Icm plus m d² utilise la masse plutôt que l'aire et répond à une autre question (cinétique de rotation).

Ce calculateur n'implémente que la forme de section, afin qu'une feuille de poutre ou de poteau puisse transférer Ixx ou Iyy sans mélanger des kilogrammes à des millimètres à la puissance quatre. Un décalage nul laisse correctement I égal à Ī ; une aire évanescente est rejetée, car il n'y a alors aucune section à transporter.

Quand transporter le moment quadratique d'une section

Les projeteurs acier et bois portent les inerties barycentriques de catalogue sur l'axe neutre d'une poutre composée lorsqu'ils ajoutent des plats de recouvrement ou des pièces jumelées. Les sites de contenu qui se classent sur calculateur du théorème des axes parallèles, transfert du moment d'inertie de section ou théorème de Steiner I égal à I barre plus A d au carré bénéficient d'un outil gratuit en direct dont l'arithmétique correspond octet pour octet au chemin d'automatisation payant.

Les bancs de laboratoire qui mesurent les moments quadratiques de sections découpées peuvent comparer le I transféré à un pendule physique ou à un essai de flexion sans embarquer des cellules improvisées qui divergent sur l'arrondi. Une entrée invalide n'est pas facturée.

Cas d’usage

Conception de poutres composées et de longerons

Portez les inerties barycentriques de catalogue sur l'axe neutre composite lors de l'ajout de plats de recouvrement, de solives jumelées ou de semelles soudées.

Questions fréquentes

S'agit-il de la forme massique I = Icm + m d² ?

Non. Ce calculateur transporte un second moment de section (aire). Le théorème d'inertie massique utilise la masse m, pas l'aire A, et répond à la cinétique de rotation plutôt qu'à la flexion des poutres.

Quelles unités devez-vous utiliser ?

Tout système de longueur cohérent : les mètres donnent des m⁴ ; les millimètres, des mm⁴. Conservez Ī, A et d dans la même unité de longueur. La réponse étiquette unit comme m⁴ selon la convention SI.

Pourquoi le premier axe doit-il être barycentrique ?

Le théorème I=Ī+A·d² n'est valable que lorsque Ī est pris autour d'un axe passant par le barycentre de A. Transporter entre deux axes parallèles arbitraires exige une étape supplémentaire par le barycentre.

Comment appliquer le théorème des axes parallèles à une section ?

Ajoutez au moment quadratique barycentrique l'aire multipliée par le carré de la distance entre les axes. Avec 200 autour du barycentre, une aire de 50 et une distance de 4, on obtient 200 plus 50 fois 16, soit 1000.

L'outil calcule-t-il le moment barycentrique à partir de la largeur et de la hauteur ?

Non. Prenez cette valeur dans un formulaire ou calculez-la avec la formule de votre forme ; cet outil transporte seulement vers un axe parallèle un moment que vous connaissez déjà. Gardez toutes les mesures dans le même système de longueur.

Outils associés

Pour les développeurs — accès API

Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.

Endpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/eng/parallel-axis

Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.

Appeler depuis votre stack

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/eng/parallel-axis \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"i_centroid":200,"area":50,"distance":4}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/eng/parallel-axis", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "i_centroid": 200,
    "area": 50,
    "distance": 4
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/eng/parallel-axis",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "i_centroid": 200,
    "area": 50,
    "distance": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/eng/parallel-axis", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"i_centroid":200,"area":50,"distance":4}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"i_centroid":200,"area":50,"distance":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/eng/parallel-axis", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Exemple de requête

{
  "i_centroid": 200,
  "area": 50,
  "distance": 4
}

Exemple de réponse

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "eng.parallel_axis",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.

Tarifs

par requête$0.002

Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.

Limites

max_abs 1000000000000

Erreurs

HTTP	Code	Signification
`401`	`unauthorized`	Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization.
`402`	`insufficient_balance`	Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche.
`404`	`unknown_type`	Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête.
`429`	`rate_limited`	Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez.

Notes techniques

Une entrée invalide —champs manquants, inertie négative, aire non positive ou distance négative— échoue avec invalid_input et n'est pas facturée.

Contrat d'entrée, unités, forme de la réponse et erreurs

Les résultats numériques sont arrondis à douze décimales pour des goldens stables et l'automatisation. Exemple : inertie barycentrique deux cents, aire cinquante, distance quatre donne un terme de transport huit cents et une inertie d'axe parallèle mille, car deux cents plus cinquante fois seize égale mille. Associez le résultat à vos propres formules de forme si vous avez encore besoin de Ī à partir de la largeur et de la hauteur ; cette capacité ne transfère qu'une inertie de section déjà connue. Envoyez par POST un corps JSON avec trois nombres finis obligatoires : i_centroid (alias I_bar, Ibar, i_bar, Icm, Ig, I0, ic, centroidal_inertia), le moment d'inertie de section non négatif autour de l'axe barycentrique ; area (alias A, section_area), une aire de section strictement positive ; et distance (alias d, offset, axis_distance), un décalage perpendiculaire non négatif entre les deux axes parallèles. Lorsque Ī est en mètres à la puissance quatre, l'aire en mètres carrés et d en mètres, i_parallel s'exprime en m⁴ ; la même arithmétique vaut pour les millimètres ou les pouces si toutes les entrées restent dans un seul système de longueur. Les champs peuvent arriver comme nombres JSON ou chaînes numériques. Champs manquants, valeurs non finies, i_centroid négatif, aire non positive ou distance négative échouent avec invalid_input en nommant le problème ; ces échecs ne sont pas facturés. En cas de succès le corps renvoie i_centroid, area et distance arrondis ; signale distance_squared et le transfer_term A fois d au carré ; renvoie i_parallel comme Ī plus ce terme de transport ; fixe unit à m⁴ comme étiquette SI par défaut ; et inclut la formule I = Ī + A · d², method parallel_axis_theorem et un court message lisible.

Où une API d'inertie de section par axes parallèles justifie son existence

Les cours de résistance des matériaux et les examens professionnels demandent régulièrement I par rapport à une base, une ligne de soudure ou un axe neutre composite une fois Ī et A connus ; un oracle déterministe marque une aire négative ou un décalage signé comme invalid_input au lieu d'élever silencieusement au carré un mauvais d. Les préprocesseurs éléments finis et les remplaçants de tableur peuvent figer i_parallel en intégration continue afin qu'un maillage ou un calcul à la main ultérieur ne s'écarte pas de l'identité de Steiner. Parce que l'implémentation est du parse pur de niveau A, chaque appel réussi coûte le tarif de base publié $0.002 sans jetons de modèle ni réseau sortant. Gardez les requêtes petites, figez le champ i_parallel arrondi dans les tests, et vous obtenez des transferts d'axes parallèles reproductibles pour plugins LMS, workers de bord et carnets de conception sans dresser une bibliothèque complète de propriétés de section.

Cas d'intégration

Contrôle des devoirs et des examens

Transportez Ī vers un axe parallèle avec I=Ī+A·d² à partir de l'aire et du décalage de l'énoncé ; refusez une aire négative ou un d signé pour que le correcteur reçoive un invalid_input clair.

Scripts de laboratoire et d'automatisation

Figez i_parallel à partir de Ī, A et d connus en CI avec le même module pur que le widget gratuit du navigateur.

Questions techniques

Comment appliquer le théorème des axes parallèles à un moment d'inertie de section ?

Envoyez i_centroid Ī non négatif, area A positive et distance d non négative. L'API renvoie I=Ī+A·d² comme i_parallel en unités cohérentes de longueur⁴ (m⁴ en SI).

Que coûte le calculateur du théorème des axes parallèles ?

L'outil du navigateur est gratuit. Les requêtes API utilisent un solde KIT prépayé à $0.002 par appel réussi ; une entrée invalide n'est pas facturée.

Consulter la documentation complète du KIT →

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