Lunule d'Hippocrate : aire égale au triangle rectangle
Avec un côté de 6, la lunule d'Hippocrate mesure 18, exactement comme le triangle rectangle isocèle sur lequel elle est construite. Saisissez un côté et obtenez la lunule, le triangle, l'hypoténuse et le demi-cercle sur ce côté. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- Leg
- 6
- Hypoténuse
- 8,4852813742
- Aire du triangle
- 18
- Aire de la lunule
- 18
- Aire du demi-cercle sur le côté
- 14,1371669412
La lunule d'Hippocrate est l'un des premiers résultats exacts d'aire de la géométrie grecque classique : un croissant formé de deux arcs de cercle a la même aire qu'un triangle rectangle construit sur la même figure. Pour le triangle rectangle isocèle de côté a, cette égalité est simplement L égal à a au carré sur deux, la même formule que l'aire du triangle. Élèves, enseignants et auteurs d'histoire des mathématiques ont besoin d'une valeur fiable sans redessiner des demi-cercles à la main ni lutter contre le bruit en virgule flottante dans un carnet. Ce calculateur de la lunule d'Hippocrate accepte un seul côté positif, renvoie l'hypoténuse a√2, l'aire du triangle, l'aire du demi-cercle sur ce côté et l'aire de la lunule qui coïncide avec le triangle, avec une courte chaîne de formule pour l'affichage.
Ce qu'est la lunule d'Hippocrate et pourquoi son aire égale le triangle
Hippocrate de Chios (Ve siècle av. J.-C.) a étudié des régions limitées par des arcs de cercle bien avant qu'existe une théorie générale de la quadrature du cercle. Dans la construction classique, vous partez d'un triangle rectangle isocèle dont les côtés égaux mesurent a et dont l'hypoténuse vaut a fois la racine carrée de deux.
Tracez le demi-cercle ayant un côté pour diamètre ; son aire est un demi pi fois (a sur deux) au carré, ce qui se simplifie en pi a au carré sur huit. Le même triangle est inscrit dans un plus grand cercle dont le diamètre est l'hypoténuse. La lunule — ou croissant — est la région intérieure au petit demi-cercle mais extérieure à l'arc du grand cercle entre les extrémités de ce côté.
Hippocrate a prouvé que ce croissant a exactement la même aire que le triangle rectangle : toutes deux valent a au carré sur deux. La preuve est élémentaire une fois que l'on compare segments et aires de triangles rectangles : les excès courbes s'annulent et la lunule restante coïncide avec le triangle polygonal. Cette égalité est le cœur pédagogique de cette capacité.
Vous n'avez pas besoin d'une intégration numérique de deux arcs ; il vous faut un côté positif et la forme fermée L égal à T égal à côté au carré sur deux. L'hypoténuse et l'aire du demi-cercle sur le côté sont inclus pour que plans de cours et fiches montrent les grandeurs intermédiaires de la construction sans les recalculer dans un second outil.
Qui utilise le calculateur de la lunule d'Hippocrate
Les classes qui traitent l'histoire de la géométrie grecque utilisent un calculateur de la lunule d'Hippocrate pour que les apprenants saisissent un côté d'une figure du manuel et vérifient que l'aire du croissant égale bien le triangle sans constructions au compas laborieuses sur papier. Les plugins de préparation d'examens et LMS ont besoin d'un oracle déterministe qui rejette les côtés non positifs au lieu de renvoyer un zéro silencieux qu'un correcteur bugué pourrait traiter comme un succès.
Les équipes éducatives de musées et les auteurs de MOOC veulent souvent des grandeurs intermédiaires — hypoténuse, aire du demi-cercle sur le côté — à côté de l'égalité célèbre pour légendes et révélation progressive. Gardez les requêtes compactes, figez les champs arrondis dans les tests, et vous obtenez des aires d'Hippocrate reproductibles pour devoirs, intégrations CMS et workers en bordure sans monter une infrastructure symbolique propre.
Cas d’usage
Vérifications en classe d'histoire de la géométrie
Laissez les élèves saisir le côté d'une figure de lunule du manuel et confirmer que l'aire de la lunule égale celle du triangle leg²/2 avec les valeurs intermédiaires de la construction.
Notation automatique LMS et examens
Notez les items sur la lunule d'Hippocrate avec un oracle déterministe qui rejette les côtés non positifs et n'invente jamais une aire de croissant sur une entrée invalide.
Questions fréquentes
Comment calculer l'aire de la lunule d'Hippocrate ?
Envoyez un côté fini et positif du triangle rectangle isocèle de la construction classique.
Pourquoi l'aire de la lunule égale-t-elle celle du triangle ?
C'est le théorème d'Hippocrate pour cette construction : en comparant segments de cercle et triangle rectangle isocèle, le croissant se réduit à leg²/2, comme le triangle.
Que se passe-t-il si le côté est nul ou négatif ?
Un côté doit être une longueur positive ; les valeurs nulles et négatives sont rejetées et ne sont pas facturées.
Le triangle est-il toujours rectangle isocèle ?
Oui pour cette capacité. La lunule classique d'un seul côté d'Hippocrate utilise un triangle rectangle isocèle (côtés égaux, hypoténuse leg·√2). Envoyez un seul côté.
Quelle région la lunule d'Hippocrate mesure-t-elle exactement ?
C'est la zone située à l'intérieur du petit demi-cercle tracé sur un côté de l'angle droit, mais à l'extérieur de l'arc du grand cercle dont le diamètre est l'hypoténuse. Les deux arcs se rejoignent aux extrémités de ce côté, d'où la forme de croissant.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/lune-hippocrates \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"leg":6}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/lune-hippocrates", {
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headers: {
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headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
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task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/lune-hippocrates", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"leg":6}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"leg":6}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/lune-hippocrates", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
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}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.lune_hippocrates",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Les côtés non positifs échouent avec invalid_input, afin que les outils de devoirs et les API n'inventent jamais un croissant sur un côté nul ou négatif.
Ce qu'est la lunule d'Hippocrate et pourquoi son aire égale le triangle
Afficher l'aire du triangle et l'aire de la lunule côte à côte rend le théorème visible dans la réponse API, et l'indicateur booléen equal confirme qu'elles coïncident après un arrondi stable à douze décimales.
Contrat d'entrée, champs de réponse et règles de validation
Le côté doit être strictement positif : les longueurs nulles et négatives sont rejetées car un côté de triangle rectangle et un diamètre de demi-cercle sont des longueurs géométriques, non des déplacements signés. Exemple : leg égal à six donne des aires de triangle et de lunule de dix-huit, une hypoténuse d'environ huit point quatre huit cinq et une aire de demi-cercle sur le côté d'environ quatorze point un trois sept. Associez les nombres à votre propre schéma si vous avez besoin d'un croquis ; ce point de terminaison est de la géométrie analytique pure et n'émet ni SVG ni données de graphique. La validation en échec n'est pas facturée. Envoyez un corps JSON avec un nombre fini obligatoire : leg (les alias a, side et leg_length sont acceptés). La valeur peut être un nombre JSON ou une chaîne numérique ; champs manquants, chaînes vides, texte non numérique et valeurs non finies échouent avec invalid_input en nommant le champ. En cas de succès, la réponse répète le côté, indique hypotenuse comme le côté fois la racine carrée de deux, triangle_area comme le côté au carré sur deux, lune_area égal à cette même quantité, semicircle_on_leg_area comme pi fois le côté au carré sur huit, equal à true, plus les chaînes formula et method pour les libellés d'interface. Les appels réussis utilisent le prix de base publié $0.002 sur le chemin API ; l'outil navigateur reste gratuit pour les vérifications interactives.
Où une API de la lunule d'Hippocrate apporte de la valeur
Les carnets d'ingénierie citent parfois la lunule comme contrôle de cohérence en enseignant les segments de cercle ; appeler une petite API de parse évite de charger un système d'algèbre informatique pour une seule forme fermée. Comme l'implémentation est pure parse de niveau A, chaque appel réussi coûte le $0.002 publié sans jetons de modèle ni réseau sortant.
Cas d'intégration
Contenu éducatif et démos de musée
Alimentez des widgets en direct sur des articles de quadrature grecque avec le même résultat pur que l'API renvoie pour légendes et fiches automatisées.
Questions techniques
Combien coûte le calculateur de la lunule d'Hippocrate ?
L'outil navigateur est gratuit. Les requêtes API utilisent le solde prépayé KIT à $0.002 par appel réussi ; l'entrée invalide n'est pas facturée.