Lúnula de Hipócrates: área igual al triángulo rectángulo
Con un cateto de 6, la lúnula de Hipócrates mide 18, exactamente lo mismo que el triángulo rectángulo isósceles sobre el que se construye. Escriba un cateto y obtenga la lúnula, el triángulo, la hipotenusa y el semicírculo sobre el cateto. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- Leg
- 6
- Hipotenusa
- 8,4852813742
- Área del triángulo
- 18
- Área de la lúnula
- 18
- Área del semicírculo sobre el cateto
- 14,1371669412
La lúnula de Hipócrates es uno de los primeros resultados exactos de área en la geometría griega clásica: una media luna formada por dos arcos circulares tiene la misma área que un triángulo rectángulo construido sobre la misma figura. Para el triángulo rectángulo isósceles de cateto a, esa igualdad es simplemente L igual a a al cuadrado entre dos, la misma fórmula que el área del triángulo. Estudiantes, docentes y autores de historia de las matemáticas necesitan un valor fiable sin redibujar semicírculos a mano ni luchar con ruido de coma flotante en un cuaderno. Esta calculadora de la lúnula de Hipócrates acepta un único cateto positivo, devuelve la hipotenusa a√2, el área del triángulo, el área del semicírculo sobre ese cateto y el área de la lúnula que coincide con el triángulo, junto con una cadena de fórmula breve para mostrar.
Qué es la lúnula de Hipócrates y por qué su área iguala al triángulo
Hipócrates de Quíos (siglo V a. C.) estudió regiones limitadas por arcos circulares mucho antes de que existiera una teoría general de la cuadratura del círculo. En la construcción clásica se parte de un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos iguales miden a y cuya hipotenusa es a por la raíz cuadrada de dos.
Se traza el semicírculo que tiene un cateto como diámetro; su área es un medio de pi por (a entre dos) al cuadrado, que se simplifica a pi a al cuadrado entre ocho. El mismo triángulo está inscrito en un círculo mayor cuyo diámetro es la hipotenusa. La lúnula —o media luna— es la región que queda dentro del semicírculo pequeño pero fuera del arco del círculo mayor entre los extremos de ese cateto.
Hipócrates demostró que esa media luna tiene exactamente la misma área que el triángulo rectángulo: ambas valen a al cuadrado entre dos. La demostración es elemental al comparar segmentos y áreas de triángulos rectángulos: los excesos curvos se cancelan y la lúnula restante coincide con el triángulo poligonal. Esa igualdad es el núcleo didáctico de esta capacidad.
No hace falta una integración numérica de dos arcos; basta un cateto positivo y la forma cerrada L igual a T igual a cateto al cuadrado entre dos. La hipotenusa y el área del semicírculo sobre el cateto se incluyen para que planes de clase y fichas muestren magnitudes intermedias de la construcción sin recalcularlas en una segunda herramienta.
Quién usa la calculadora de la lúnula de Hipócrates
Las aulas que cubren la historia de la geometría griega usan una calculadora de la lúnula de Hipócrates para que el alumnado introduzca un cateto de una figura del libro y compruebe que el área de la media luna iguala de verdad al triángulo sin construcciones de compás engorrosas en papel. Los plugins de preparación de exámenes y LMS necesitan un oráculo determinista que rechace catetos no positivos en lugar de devolver un cero silencioso que un corrector defectuoso podría tratar como éxito.
Los equipos educativos de museos y los autores de MOOC suelen querer magnitudes intermedias —hipotenusa, área del semicírculo sobre el cateto— junto a la igualdad célebre para pies de foto y revelación progresiva. Mantenga las peticiones pequeñas, fije los campos redondeados en las pruebas y obtendrá áreas de Hipócrates reproducibles para deberes, incrustaciones CMS y workers de borde sin montar infraestructura simbólica propia.
Qué puede hacer con ella
Comprobaciones en clase de historia de la geometría
Permita que el alumnado introduzca el cateto de una figura de lúnula del libro y confirme que el área de la lúnula iguala al triángulo leg²/2 con valores intermedios de la construcción.
Corrección automática en LMS y exámenes
Califique ítems de la lúnula de Hipócrates con un oráculo determinista que rechaza catetos no positivos y nunca inventa un área de media luna ante una entrada inválida.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula el área de la lúnula de Hipócrates?
Envíe un cateto finito y positivo del triángulo rectángulo isósceles de la construcción clásica.
¿Por qué el área de la lúnula iguala a la del triángulo?
Es el teorema de Hipócrates para esta construcción: al comparar segmentos circulares y el triángulo rectángulo isósceles, la media luna se reduce a leg²/2, igual que el triángulo.
¿Qué ocurre si el cateto es cero o negativo?
Un cateto debe ser una longitud positiva; los valores nulos y negativos se rechazan y no se facturan.
¿El triángulo es siempre rectángulo isósceles?
Sí en esta capacidad. La lúnula clásica de un solo cateto de Hipócrates usa un triángulo rectángulo isósceles (catetos iguales, hipotenusa leg·√2). Envíe solo un cateto.
¿Qué región exacta mide la lúnula de Hipócrates?
Es la zona que queda dentro del semicírculo pequeño trazado sobre un cateto, pero fuera del arco del círculo mayor cuyo diámetro es la hipotenusa. Los dos arcos terminan en los extremos de ese cateto, y de ahí sale la forma de media luna.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/lune-hippocrates \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"leg":6}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/lune-hippocrates", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"leg": 6
})
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/geom/lune-hippocrates",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"leg": 6
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/lune-hippocrates", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"leg":6}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"leg":6}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/lune-hippocrates", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"leg": 6
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.lune_hippocrates",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Los catetos no positivos fallan con invalid_input, de modo que las herramientas de deberes y las API nunca inventan una media luna sobre un lado nulo o negativo.
Qué es la lúnula de Hipócrates y por qué su área iguala al triángulo
Informar el área del triángulo y el área de la lúnula lado a lado hace visible el teorema en la respuesta de la API, y el indicador booleano equal confirma que coinciden tras un redondeo estable a doce decimales.
Contrato de entrada, campos de respuesta y reglas de validación
El cateto debe ser estrictamente positivo: se rechazan longitudes nulas y negativas porque un cateto de triángulo rectángulo y un diámetro de semicírculo son longitudes geométricas, no desplazamientos con signo. Ejemplo: leg igual a seis produce áreas de triángulo y lúnula de dieciocho, hipotenusa de unos ocho punto cuatro ocho cinco y área del semicírculo sobre el cateto de unos catorce punto uno tres siete. Combine los números con su propio diagrama si necesita un croquis; este extremo es geometría analítica pura y no emite SVG ni datos de gráfica. La validación fallida no se factura. Envíe un cuerpo JSON con un número finito obligatorio: leg (se aceptan los alias a, side y leg_length). El valor puede ser un número JSON o una cadena numérica; los campos ausentes, las cadenas vacías, el texto no numérico y los valores no finitos fallan con invalid_input indicando el campo. En caso de éxito la respuesta repite el cateto, informa hypotenuse como el cateto por la raíz cuadrada de dos, triangle_area como el cateto al cuadrado entre dos, lune_area igual a esa misma cantidad, semicircle_on_leg_area como pi por el cateto al cuadrado entre ocho, equal en true, más cadenas formula y method para etiquetas de interfaz. Las llamadas correctas usan el precio base publicado $0.002 en la ruta API; la herramienta del navegador sigue siendo gratuita para comprobaciones interactivas.
Dónde aporta valor una API de la lúnula de Hipócrates
Los cuadernos de ingeniería citan a veces la lúnula como comprobación al enseñar segmentos circulares; llamar a una API de parseo pequeña evita arrastrar un sistema de álgebra computacional por una sola forma cerrada. Como la implementación es parse puro de nivel A, cada llamada correcta cuesta el $0.002 publicado sin tokens de modelo ni red saliente.
Casos de integración
Contenido educativo y demos de museo
Impulse widgets en vivo en artículos sobre la cuadratura griega con el mismo resultado puro que devuelve la API para pies de foto y fichas automatizadas.
Preguntas técnicas
¿Cuánto cuesta la calculadora de la lúnula de Hipócrates?
La herramienta del navegador es gratuita. Las peticiones API usan saldo prepago KIT a $0.002 por llamada correcta; la entrada inválida no se factura.