Lúnula de Hipócrates: área igual ao triângulo retângulo
Com um cateto de 6, a lúnula de Hipócrates mede 18, exatamente o mesmo que o triângulo retângulo isósceles sobre o qual é construída. Digite um cateto e receba a lúnula, o triângulo, a hipotenusa e o semicírculo sobre o cateto. Grátis no seu navegador.
- Grátis
- Funciona no seu navegador
- Sem cadastro
- Seus dados não saem do seu aparelho
Executar grátis
Exemplo resolvido
- Leg
- 6
- Hipotenusa
- 8,4852813742
- Área do triângulo
- 18
- Área da lúnula
- 18
- Área do semicírculo sobre o cateto
- 14,1371669412
A lúnula de Hipócrates é um dos primeiros resultados exatos de área na geometria grega clássica: uma meia-lua formada por dois arcos circulares tem a mesma área de um triângulo retângulo construído sobre a mesma figura. Para o triângulo retângulo isósceles de cateto a, essa igualdade é simplesmente L igual a a ao quadrado sobre dois, a mesma fórmula da área do triângulo. Alunos, professores e autores de história da matemática precisam de um valor confiável sem redesenhar semicírculos à mão nem lutar com ruído de ponto flutuante em um caderno. Esta calculadora da lúnula de Hipócrates aceita um único cateto positivo, devolve a hipotenusa a√2, a área do triângulo, a área do semicírculo sobre esse cateto e a área da lúnula que coincide com o triângulo, com uma string de fórmula curta para exibição.
O que é a lúnula de Hipócrates e por que sua área iguala o triângulo
Hipócrates de Quios (século V a.C.) estudou regiões limitadas por arcos circulares muito antes de existir uma teoria geral da quadratura do círculo. Na construção clássica parte-se de um triângulo retângulo isósceles cujos catetos iguais medem a e cuja hipotenusa é a vezes a raiz quadrada de dois. Traça-se o semicírculo que tem um cateto como diâmetro; sua área é metade de pi vezes (a sobre dois) ao quadrado, o que se simplifica a pi a ao quadrado sobre oito.
O mesmo triângulo está inscrito em um círculo maior cujo diâmetro é a hipotenusa. A lúnula — ou meia-lua — é a região que fica dentro do semicírculo pequeno mas fora do arco do círculo maior entre as extremidades desse cateto. Hipócrates provou que essa meia-lua tem exatamente a mesma área do triângulo retângulo: ambas valem a ao quadrado sobre dois.
A demonstração é elementar ao comparar segmentos e áreas de triângulos retângulos: os excessos curvos se cancelam e a lúnula restante coincide com o triângulo poligonal. Essa igualdade é o núcleo didático desta capacidade. Não é preciso integração numérica de dois arcos; basta um cateto positivo e a forma fechada L igual a T igual a cateto ao quadrado sobre dois.
A hipotenusa e a área do semicírculo sobre o cateto são incluídas para que planos de aula e fichas mostrem grandezas intermediárias da construção sem recalculá-las em uma segunda ferramenta.
Quem usa a calculadora da lúnula de Hipócrates
Salas de aula que cobrem a história da geometria grega usam uma calculadora da lúnula de Hipócrates para que os alunos digitem um cateto de uma figura do livro e verifiquem que a área da meia-lua realmente iguala o triângulo sem construções de compasso bagunçadas no papel. Plugins de preparação para exames e LMS precisam de um oráculo determinístico que rejeite catetos não positivos em vez de devolver um zero silencioso que um corretor com bug poderia tratar como sucesso.
Equipes educativas de museus e autores de MOOC costumam querer grandezas intermediárias — hipotenusa, área do semicírculo sobre o cateto — junto à igualdade célebre para legendas e divulgação progressiva. Mantenha as requisições pequenas, fixe os campos arredondados nos testes e obtenha áreas de Hipócrates reproduzíveis para lições, embeds CMS e workers de borda sem montar infraestrutura simbólica própria.
Casos de uso
Conferências em aula de história da geometria
Permita que os alunos digitem o cateto de uma figura de lúnula do livro e confirmem que a área da lúnula iguala a do triângulo leg²/2 com valores intermediários da construção.
Correção automática em LMS e exames
Pontue itens da lúnula de Hipócrates com um oráculo determinístico que rejeita catetos não positivos e nunca inventa área de meia-lua em entrada inválida.
Perguntas frequentes
Como calcular a área da lúnula de Hipócrates?
Envie um cateto finito e positivo do triângulo retângulo isósceles da construção clássica.
Por que a área da lúnula iguala a do triângulo?
É o teorema de Hipócrates para esta construção: ao comparar segmentos circulares e o triângulo retângulo isósceles, a meia-lua se reduz a leg²/2, igual ao triângulo.
O que acontece se o cateto for zero ou negativo?
Um cateto deve ser um comprimento positivo; valores nulos e negativos são rejeitados e não são cobrados.
O triângulo é sempre retângulo isósceles?
Sim nesta capacidade. A lúnula clássica de um só cateto de Hipócrates usa um triângulo retângulo isósceles (catetos iguais, hipotenusa leg·√2). Envie apenas um cateto.
Que região exata a lúnula de Hipócrates mede?
É a parte que fica dentro do semicírculo pequeno traçado sobre um cateto, mas fora do arco do círculo maior cujo diâmetro é a hipotenusa. Os dois arcos terminam nas pontas desse cateto, o que dá a forma de meia-lua.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/lune-hippocrates \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"leg":6}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/lune-hippocrates", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"leg": 6
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/geom/lune-hippocrates",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"leg": 6
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/lune-hippocrates", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"leg":6}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"leg":6}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/lune-hippocrates", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"leg": 6
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.lune_hippocrates",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Catetos não positivos falham com invalid_input, para que ferramentas de lição de casa e APIs nunca inventem uma meia-lua sobre um lado nulo ou negativo.
O que é a lúnula de Hipócrates e por que sua área iguala o triângulo
Reportar a área do triângulo e a área da lúnula lado a lado torna o teorema visível na resposta da API, e o indicador booleano equal confirma que coincidem após arredondamento estável a doze casas decimais.
Contrato de entrada, campos de resposta e regras de validação
O cateto deve ser estritamente positivo: comprimentos nulos e negativos são rejeitados porque um cateto de triângulo retângulo e um diâmetro de semicírculo são comprimentos geométricos, não deslocamentos com sinal. Exemplo: leg igual a seis produz áreas de triângulo e lúnula de dezoito, hipotenusa cerca de oito ponto quatro oito cinco e área do semicírculo sobre o cateto cerca de quatorze ponto um três sete. Validação falha não é cobrada. Envie um corpo JSON com um número finito obrigatório: leg (os aliases a, side e leg_length são aceitos). O valor pode ser um número JSON ou uma string numérica; campos ausentes, strings vazias, texto não numérico e valores não finitos falham com invalid_input nomeando o campo. Em caso de sucesso a resposta ecoa o cateto, informa hypotenuse como o cateto vezes a raiz quadrada de dois, triangle_area como o cateto ao quadrado sobre dois, lune_area igual a essa mesma quantidade, semicircle_on_leg_area como pi vezes o cateto ao quadrado sobre oito, equal definido como true, mais strings formula e method para rótulos de interface. Associe os números ao seu próprio diagrama se precisar de um esboço; este endpoint é geometria analítica pura e não emite SVG nem dados de gráfico. Chamadas bem-sucedidas usam o preço base publicado US$ 0,002 no caminho API; a ferramenta do navegador permanece gratuita para verificações interativas.
Onde uma API da lúnula de Hipócrates agrega valor
Cadernos de engenharia citam às vezes a lúnula como checagem ao ensinar segmentos circulares; chamar uma pequena API de parse evita puxar um sistema de álgebra computacional por uma única forma fechada. Como a implementação é parse puro tier A, cada chamada bem-sucedida custa o US$ 0,002 publicado sem tokens de modelo e sem rede de saída.
Casos de integração
Conteúdo educativo e demos de museu
Alimente widgets ao vivo em artigos sobre a quadratura grega com o mesmo resultado puro que a API devolve para legendas e fichas automatizadas.
Perguntas técnicas
Quanto custa a calculadora da lúnula de Hipócrates?
A ferramenta do navegador é gratuita. Pedidos API usam saldo pré-pago KIT a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.