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ラグランジュ誤差限界計算

導関数の上限M、補間の節点、知りたい点を入力すると、その点で多項式が持ちうる最大の誤差が分かります。節点0、1、2、Mが1、点0.5なら、誤差は最大でも0.0625です。ブラウザで無料で使えます。

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入力した場合
ノード
0, 1, 2
M
1
X
0.5
結果
N
3
次数
2
積
0.375
階乗
6

近似多項式は実際にどれくらいずれ得るのでしょうか。関数のn次導関数の上界M、補間ノードの位置、そして評価点を与えると、古典的な剰余定理を用いて、真の関数と補間多項式の間の最悪ケースの差を返します。1回の呼び出しで1つの数値が得られ、数値的な当て推量は不要です。この限界は閉じた形の式であるため、結果はサンプリングによる推定ではなく、厳密な算術演算によって求められます。

誤差限界が実際に示すこと

一連のノードを通る関数の補間では、それらのノード上では関数と正確に一致する多項式が得られますが、それだけではノード間の点については何も分かりません。その隙間を埋めるのがラグランジュ剰余定理です。

多項式がn個のノードを通り、関数のn次導関数の絶対値が区間上でMを超えないならば、任意の点xにおける真の誤差は、Mをnの階乗で割った値に、xから各ノードまでの距離の積を掛けた値以下になります。導関数の上界M、ノードの位置、評価点を入力すると、その点で補間が取り得る最大誤差が返されます。つまりこれは測定値ではなく証明書です。

最悪の場合でも成り立つため、レポート、制御システム、公開する図表で補間値を信用する前に必要となる、まさにその保証を与えてくれます。

ノードと評価点が限界をどう形作るか

積の項は理解する価値のある部分です。補間が安全な場所と危険な場所を説明してくれるからです。各ノードは、評価点とそのノードの間の距離という1つの因子を寄与するため、多項式が構成上正確となるノード上では限界はちょうどゼロになり、ノードの集まりから離れるほど大きくなります。

密集しつつ適切に分散したノード群の内側で評価すれば積は小さく保たれます。一方、最も外側のノードを超えて外挿すると、すべての因子が同時に増大し、限界はそれに応じて急激に膨らみます。分母の階乗は有利に働きます。

ノードを1つ追加するごとに次数が1上がり、限界はさらに1つの因子で割られるため、適切に配置されたノードの追加が精度を劇的に改善し得るのはこのためです。ノード配置に決定を下す前に、点を動かしたりノードを追加・削除したりして、最悪ケースの誤差がどう応答するかを観察できます。

実際のワークフローでの位置づけ

典型的な用途は発見ではなく検証です。すでに関数とサンプル点の集合、そして補間する理由があるはずです。センサー用のルックアップテーブル、表形式の物理データの滑らかな再構成、高コストな計算の安価な代替などです。

近似を運用に載せる前に、その誤差に上限を付け、その数値を記録として残します。エンジニアはテーブル駆動のコントローラが許容誤差内に収まることの証明に、アナリストは補間した数値の公開を正当化するために、学生は定理に照らして課題を確認するために使います。

計算は決定論的な閉じた形の算術演算であり、乱数もサンプリングも外部呼び出しもないため、同じ入力からは常に同じ限界が得られます。料金が発生するのは、パイプラインに組み込んで自動化する場合だけです。

ルックアップテーブル近似の保証

多項式で補間したセンサーテーブルが、校正点の間でも要求される許容誤差内に収まることを証明します。

必要なノード数の決定

高コストな関数のサンプリング予算を確定する前に、ノード数や配置を変えて限界を比較します。

数値解析の課題の確認

ラグランジュ剰余定理の手計算による適用を、厳密で決定論的な参照実装と照合して検証します。

料金はいくらですか?

また、このページではブラウザ上で無料で実行できます。両方の場所で同じコードが動作します。

Mという値は正確には何ですか?

Mは、区間上での関数のn次導関数の絶対値の上界です。ここでnはノードの個数です。例えばsin(x)では、すべての導関数が1で抑えられます。

結果は実際の誤差ですか?

いいえ。 剰余定理が保証する最大可能誤差です。真の誤差がこれを超えることはなく、実際にははるかに小さいことがよくあります。

ノードの範囲外で評価できますか?

はい、任意の有限の評価点を受け付けます。ただし外挿では、すべての距離因子が同時に増大するため、限界が急速に大きくなることを見込んでください。

ノード数に上限はありますか?

171! が倍精度の範囲を超えるため、最大170個のノードまで受け付けます。実際には、適切に配置された少数のノードがあれば定理には十分です。

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

POSThttps://api.kit.forhosting.com/math/lagrange-error-bound

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/lagrange-error-bound \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"nodes":[0,1,2],"m":1,"x":0.5}'
{
  "nodes": [
    0,
    1,
    2
  ],
  "m": 1,
  "x": 0.5
}
{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "math.lagrange_error_bound",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

min_nodes1
max_nodes170
HTTPコード意味
401unauthorizedAPIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
402insufficient_balance残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
404unknown_type指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
429rate_limitedリクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

ラグランジュ誤差限界APIは、多項式補間に必ず残る疑問に答えます。

誤差限界が実際に示すこと

このエンドポイントはその式を直接評価します。

ノードと評価点が限界をどう形作るか

このエンドポイントを使って、その直感を定量的に確かめてください。

実際のワークフローでの位置づけ

グローバルなエッジ上で1リクエストあたり$0.002で動作し、このページでは同一のコードがブラウザ上で無料で動きます。

ノードリストが空だとどうなりますか。

リクエストはinvalid_inputエラーで拒否されます。補間を定義するには少なくとも1つのノードが必要です。

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