حد خطأ لاغرانج
أدخل حدًّا أعلى M للمشتقة وعقد الاستكمال والنقطة التي تهمك، واحصل على أكبر خطأ ممكن لكثيرة الحدود عندها: مع العقد 0 و1 و2، وقيمة M تساوي 1، والنقطة 0.5، لا يتجاوز الخطأ 0.0625. مجاني في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- العقد
- 0, 1, 2
- M
- 1
- X
- 0.5
- N
- 3
- الدرجة
- 2
- الناتج
- 0.375
- العاملي
- 6
استدعاء واحد يكفي للحصول على رقم واحد دون أي تخمين عددي — فالحدّ صيغة مغلقة، ومن ثمّ تكون النتيجة حسابًا دقيقًا لا تقديرًا ناتجًا عن أخذ العينات.
ماذا يخبرك حدّ الخطأ فعليًا
إن تقريب دالة عبر مجموعة من العقد يعطيك كثير حدود يطابق الدالة تمامًا عند تلك العقد، لكنه لا يقول شيئًا بذاته عن النقاط الواقعة بينها. وهنا تسدّ نظرية باقي لاغرانج هذه الفجوة: إذا مرّ كثير الحدود عبر n من العقد ولم تتجاوز القيمة المطلقة للمشتقة ذات الرتبة n للدالة الحدّ M على الفترة المعنية، فإن الخطأ الحقيقي عند أي نقطة x لا يزيد على M مقسومًا على مضروب n، مضروبًا في جداء المسافات من x إلى كل عقدة.
تقيّم هذه الواجهة ذلك التعبير مباشرةً: تزوّدها بحدّ المشتقة M ومواقع العقد ونقطة التقييم، فتستردّ أكبر خطأ يمكن أن يبلغه التقريب عند تلك النقطة. وهذا يجعلها شهادة ضمان لا قياسًا — فهي تصمد حتى في أسوأ الحالات، وهو بالضبط ما تحتاج إليه قبل الوثوق بقيمة مُقارَبة في تقرير أو نظام تحكم أو رقم منشور.
كيف تشكّل العقد ونقطة التقييم الحدّ
حدّ الجداء هو الجزء الجدير بالفهم، لأنه يفسّر أين يكون التقريب آمنًا وأين يكون خطرًا. فكل عقدة تسهم بعامل واحد هو المسافة بين نقطة التقييم وتلك العقدة، ومن ثمّ ينهار الحدّ إلى الصفر عند العقد نفسها — حيث يكون كثير الحدود مطابقًا بحكم التعريف — ويكبر كلما ابتعدت عن مجموعة العقد. فالتقييم داخل مجموعة عقد متقاربة وموزعة توزيعًا حسنًا يُبقي الجداء صغيرًا، بينما الاستكمال خارج أبعد عقدة يجعل كل عامل يكبر في آن واحد، فيتضخم الحدّ تبعًا لذلك.
أما المضروب في المقام فيعمل لصالحك: فكل عقدة إضافية ترفع الدرجة بواحد وتقسم الحدّ على عامل إضافي، ولهذا يمكن لإضافة عقدة في موضع حسن أن تحسّن الدقة تحسّنًا كبيرًا. استخدم هذه الواجهة لاختبار هذا الحدس كمّيًا — حرّك النقطة، وأضف العقد أو احذفها، وراقب كيف يستجيب الخطأ في أسوأ الحالات قبل أن تقرّر التصميم النهائي لمواقع العقد.
أين موضعها في سير عمل حقيقي
الاستخدام النموذجي هو التحقق لا الاستكشاف. فلديك بالفعل دالة ومجموعة من نقاط العينات وسبب للتقريب — جدول مرجعي لمستشعر، أو إعادة بناء سلسة لبيانات فيزيائية مجدولة، أو بديل رخيص لحساب مكلف. وقبل تسليم التقريب، تحدّ خطأه وتحتفظ بالرقم في السجلات.
يستخدمه المهندسون لإثبات أن وحدة تحكم تعتمد على جداول تظلّ ضمن التفاوت المسموح، ويستخدمه المحللون لتبرير نشر أرقام مُقارَبة، ويستخدمه الطلاب للتحقق من واجباتهم في ضوء النظرية بدلًا من التخمين. والحساب حساب قطعي بصيغة مغلقة: لا عشوائية ولا أخذ عينات ولا استدعاءات خارجية، فالمدخل نفسه ينتج الحدّ نفسه دائمًا.
حالات الاستخدام
اعتماد تقريب جدول مرجعي
أثبت أن جدول مستشعر مُقارَبًا بكثيرات الحدود يظلّ ضمن التفاوت المطلوب بين نقاط المعايرة.
تحديد عدد العقد التي تحتاج إليها
قارن الحدّ لعدد مختلف من العقد ومواضعها قبل الالتزام بميزانية أخذ العينات لدالة مكلفة الحساب.
مراجعة واجبات التحليل العددي
تحقق من التطبيقات اليدوية لنظرية باقي لاغرانج بمقارنتها مع تطبيق مرجعي دقيق وقطعي.
الأسئلة الشائعة
كم تبلغ التكلفة؟
ويمكنك أيضًا تشغيلها مجانًا في متصفحك على هذه الصفحة — فالكود نفسه يعمل في كلا المكانين.
ما القيمة M بالضبط؟
M هو حدّ أعلى للقيمة المطلقة للمشتقة ذات الرتبة n للدالة على الفترة المعنية، حيث n عدد العقد. فبالنسبة إلى sin(x) مثلًا، كل مشتقة محدودة بالقيمة 1.
هل النتيجة هي الخطأ الفعلي؟
لا — إنها أكبر خطأ ممكن تضمنه نظرية الباقي. والخطأ الحقيقي لا يتجاوزه أبدًا، وكثيرًا ما يكون أصغر منه بكثير.
هل يمكن التقييم خارج نطاق العقد؟
نعم، تُقبل أي نقطة تقييم منتهية. لكن توقّع أن يكبر الحدّ بسرعة عند الاستكمال خارج النطاق، لأن كل عامل مسافة يزداد في آن واحد.
ماذا يحدث مع قائمة عقد فارغة؟
إذ يلزم توافر عقدة واحدة على الأقل لتعريف التقريب.
هل يوجد حدّ لعدد العقد؟
تُقبل حتى 170 عقدة، لأن ! 171 يتجاوز نطاق الدقة العائمة المزدوجة. وعمليًا، تكفي حفنة من العقد في مواضع حسنة لتحقيق ما تقتضيه النظرية.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/lagrange-error-bound \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"nodes":[0,1,2],"m":1,"x":0.5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/lagrange-error-bound", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"nodes": [
0,
1,
2
],
"m": 1,
"x": 0.5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/lagrange-error-bound",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"nodes": [
0,
1,
2
],
"m": 1,
"x": 0.5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/lagrange-error-bound", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"nodes":[0,1,2],"m":1,"x":0.5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"nodes":[0,1,2],"m":1,"x":0.5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/lagrange-error-bound", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"nodes": [
0,
1,
2
],
"m": 1,
"x": 0.5
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.lagrange_error_bound",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الحدود
min_nodes | 1 |
max_nodes | 170 |
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
تجيب واجهة API لحدّ خطأ لاغرانج عن السؤال الذي يظلّ مفتوحًا في كل تقريب متعدد الحدود: ما مقدار الانحراف الذي يمكن أن يبلغه كثير الحدود التقريبي فعلًا؟ فإذا توافر حدّ أعلى M للمشتقة ذات الرتبة n للدالة، ومواقع عقد التقريب، والنقطة التي تجري عندها التقييم، أعادت الواجهة أسوأ فارق ممكن بين الدالة الحقيقية وكثير الحدود المُقارِب، محسوبًا وفق نظرية الباقي الكلاسيكية.
أين موضعها في سير عمل حقيقي
تعمل الواجهة على شبكتنا الطرفية العالمية بسعر $0.002 لكل طلب، ويعمل الكود نفسه مجانًا في متصفحك على هذه الصفحة — فأنت لا تدفع إلا عندما تؤتمته داخل خط معالجة.