Número de Frobenius de dos monedas
Con monedas de 4 y 7 se paga cualquier cantidad mayor que 17, pero nunca 17: esta calculadora encuentra esa mayor cantidad imposible para dos valores coprimos y cuenta los huecos. Útil para acertijos de sellos, olimpiadas y clases de teoría de números. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- A
- 4
- B
- 7
- Gcd
- 1
- Número de Frobenius
- 17
- Cantidad de no representables
- 9
El número de Frobenius de dos enteros positivos coprimos es el mayor entero que no puede escribirse como combinación entera no negativa de esos dos valores. En el problema de las dos monedas, si las denominaciones a y b tienen mcd uno, algunas cantidades se forman con exactitud y otras no; el número de Frobenius es la mayor cantidad imposible. Esta calculadora acepta dos enteros positivos, comprueba que sean coprimos y devuelve ab menos a menos b, la fórmula cerrada para dos denominaciones. Úsela para puzzles de sellos postales, problemas al estilo Chicken McNugget, preparación de concursos y la enseñanza de semigrupos numéricos, sin montar un sistema de álgebra computacional.
Qué es el número de Frobenius de dos monedas y cómo funciona la fórmula
El problema de Frobenius de dos monedas pide el mayor entero que no puede expresarse como ax más by, donde x e y son enteros no negativos y a y b son enteros positivos coprimos. Cuando el mcd de a y b vale uno, todo entero suficientemente grande es representable y existe una excepción máxima bien definida. Sylvester demostró que esa excepción es a por b menos a menos b.
Por ejemplo, las denominaciones cuatro y siete dan diecisiete: con cuatros y sietes puede formarse todo entero mayor que diecisiete, pero diecisiete no. Las denominaciones tres y cinco dan siete. Las denominaciones dos y cualquier entero impar n dan n menos dos.
El recuento complementario de enteros positivos no representables es a menos uno por b menos uno, dividido entre dos; para cuatro y siete ese recuento es nueve. Si una denominación es uno, todo entero no negativo es representable, la fórmula devuelve menos uno y el recuento de no representables es cero. Eso es matemáticamente coherente aunque una moneda de una unidad haga trivial el acertijo.
La capacidad reproduce el par analizado, su mcd (siempre uno si hay éxito), un indicador coprime, el número de Frobenius, el recuento de no representables y la cadena de fórmula ab menos a menos b, para que pueda mostrar la identidad junto a la respuesta. El orden de a y b no altera el resultado numérico, pero la respuesta conserva el orden enviado para que formularios, cuadernos y pruebas doradas sigan siendo previsibles de una solicitud a otra.
Contrato de entrada, comprobación de coprimalidad y comportamiento ante errores
Tras el análisis, el motor calcula el mcd euclidiano. Si ese mcd no es exactamente uno, el número de Frobenius no está definido porque todo entero no divisible por el mcd es inalcanzable para siempre, así que no hay una mayor cantidad imposible. El manejador rechaza entonces el par con un mensaje claro de que a y b deben ser coprimos.
Las trampas clásicas incluyen seis y nueve, cuatro y seis, y diez y quince. En un par coprimo válido el producto a por b se forma dentro del rango de enteros seguros, el número de Frobenius es ab menos a menos b y el recuento de no representables es el entero exacto (a menos uno) por (b menos uno) entre dos. No hay ningún paso de punto flotante que pueda desviar un casi-entero hacia una respuesta errónea.
Los campos ausentes, las cadenas vacías y los tipos no numéricos fallan antes de cualquier aritmética. La validación fallida no se factura. El recorrido nunca llama a la red, nunca muestrea aleatoriedad y nunca lee el reloj, de modo que el mismo par produce siempre el mismo número y las pruebas doradas se mantienen estables entre entornos de ejecución.
Dónde resulta útil una calculadora de Frobenius de dos monedas
Los docentes usan una calculadora del número de Frobenius para que el alumnado compruebe problemas de sellos postales de dos monedas o al estilo Chicken McNugget sin invertir un signo en ab menos a menos b. Los preparadores de concursos necesitan un oráculo determinista que rechace pares no coprimos en lugar de devolver una fórmula que deja de significar nada cuando hay un factor común.
Los cuadernos de semigrupos numéricos y las demostraciones de programación entera suelen empezar con dos generadores y quieren el conductor, que es uno más que el número de Frobenius, antes de crecer a más generadores. Combine esta página con un comprobador de coprimalidad cuando solo necesite la prueba del mcd, y con una herramienta euclidiana extendida cuando necesite coeficientes de Bézout en lugar de la mayor cantidad imposible.
Mantenga las solicitudes dentro de los límites documentados, fije los campos numéricos en las pruebas y obtendrá respuestas reproducibles para deberes, complementos LMS y workers de borde, sin levantar un sistema de álgebra computacional para una identidad de dos líneas que todo curso de teoría de números acaba escribiendo en la pizarra.
Qué puede hacer con ella
Sellos postales y puzzles de dos monedas
Halle el mayor franqueo que no puede formarse exactamente con dos valores de sello coprimos, o el mayor total de caja que dos denominaciones no alcanzan.
Claves de respuesta para aula y concursos
Califique ítems al estilo Chicken McNugget con un oráculo determinista que rechaza pares no coprimos y devuelve ab menos a menos b para generadores válidos.
Cuadernos de semigrupos numéricos
Inicie semigrupos de dos generadores con el número de Frobenius y el recuento de no representables antes de añadir un tercer generador o calcular el conductor.
Preguntas frecuentes
¿Qué es el número de Frobenius de dos enteros coprimos?
Es el mayor entero que no puede escribirse como ax + by con enteros no negativos x e y. Para a y b coprimos el valor es ab − a − b.
¿Por qué a y b deben ser coprimos?
Si gcd(a,b) es mayor que uno, todo entero no divisible por ese mcd es inalcanzable, así que no hay una mayor cantidad imposible.
¿Qué ocurre si una denominación vale 1?
Todo entero no negativo es representable. La fórmula devuelve −1 y el recuento de no representables es 0, el resultado cerrado coherente.
¿Resuelve el problema Chicken McNugget para tres tamaños de caja?
No. Esta página cubre solo el caso de dos monedas (dos generadores). Tres o más denominaciones no tienen una forma cerrada igual de simple y quedan fuera del alcance.
¿Cuántas cantidades no se pueden formar con dos monedas?
Reste 1 a cada valor, multiplique y divida entre 2: (a − 1)(b − 1)/2. Con monedas de 4 y 7 salen 9 cantidades imposibles, y la mayor de ellas es 17.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/frobenius-number \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":4,"b":7}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/frobenius-number", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 4,
"b": 7
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/frobenius-number",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 4,
"b": 7
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/frobenius-number", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":4,"b":7}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":4,"b":7}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/frobenius-number", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"a": 4,
"b": 7
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.frobenius_number",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Cuando el par comparte un factor común mayor que uno, quedan inalcanzables infinitos residuos, de modo que no existe una mayor cantidad imposible y la tarea falla con invalid_input en lugar de inventar un número.
Contrato de entrada, comprobación de coprimalidad y comportamiento ante errores
Envíe un cuerpo JSON con dos enteros positivos obligatorios a y b. Se aceptan cadenas decimales y los alias x o m para el primer valor e y o n para el segundo, de modo que hojas de cálculo, cadenas de consulta y formularios de aula reutilicen un solo contrato. Cada valor debe ser un entero completo de uno a diez millones; las fracciones, la notación científica, el relleno inicial, el cero, los negativos y los valores fuera de ese rango fallan con invalid_input nombrando el campo.
Dónde resulta útil una calculadora de Frobenius de dos monedas
Como la implementación es parse pura de nivel A, cada llamada correcta cuesta el precio base publicado $0.002, sin tokens de modelo y sin red saliente.
Preguntas técnicas
¿Cuánto cuesta la calculadora del número de Frobenius?
La herramienta del navegador es gratuita. Las solicitudes de API usan saldo prepago KIT a $0.002 por llamada correcta; la entrada inválida no se factura.