Numero di Frobenius a due monete
Con monete da 4 e 7 si paga qualsiasi importo oltre 17, ma mai 17: questo calcolatore trova l’importo impossibile più alto per due valori coprimi e conta i vuoti. Utile per enigmi con i francobolli, olimpiadi e lezioni di teoria dei numeri. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- A
- 4
- B
- 7
- Gcd
- 1
- Numero di Frobenius
- 17
- Quantità di non rappresentabili
- 9
Il numero di Frobenius di due interi positivi coprimi è il maggiore intero che non può essere scritto come combinazione intera non negativa di quei due valori. Nel problema delle due monete, se le denominazioni a e b hanno mcd uno, alcuni importi si formano con esattezza e altri no; il numero di Frobenius è il maggiore importo impossibile. Questo calcolatore accetta due interi positivi, verifica che siano coprimi e restituisce ab meno a meno b, la formula chiusa per due denominazioni. Lo utilizzi per enigmi di francobolli, problemi in stile Chicken McNugget, preparazione a gare e per insegnare i semigruppi numerici, senza allestire un sistema di algebra computazionale.
Che cos'è il numero di Frobenius a due monete e come funziona la formula
Il problema di Frobenius a due monete chiede il maggiore intero che non può essere espresso come ax più by, dove x e y sono interi non negativi e a e b sono interi positivi coprimi. Quando l'mcd di a e b vale uno, ogni intero sufficientemente grande è rappresentabile ed esiste una massima eccezione ben definita. Sylvester ha dimostrato che tale eccezione è a per b meno a meno b.
Ad esempio, le denominazioni quattro e sette danno diciassette: con i quattro e i sette Lei può formare ogni intero maggiore di diciassette, ma non diciassette. Le denominazioni tre e cinque danno sette. Le denominazioni due e qualsiasi intero dispari n danno n meno due.
Il conteggio complementare degli interi positivi non rappresentabili è a meno uno per b meno uno, diviso due; per quattro e sette quel conteggio è nove. Se una denominazione è uno, ogni intero non negativo è rappresentabile, la formula restituisce meno uno e il conteggio dei non rappresentabili è zero. Ciò è matematicamente coerente anche se una moneta da un'unità rende banale l'enigma.
La capacità ripete la coppia analizzata, il relativo mcd (sempre uno in caso di successo), un indicatore coprime, il numero di Frobenius, il conteggio dei non rappresentabili e la stringa di formula ab meno a meno b, così Lei può mostrare l'identità accanto alla risposta.
Contratto di ingresso, controllo di coprimalità e comportamento di errore
Dopo l'analisi, il motore calcola l'mcd euclideo. Se quell'mcd non è esattamente uno, il numero di Frobenius è indefinito perché ogni intero non divisibile per l'mcd resta per sempre irraggiungibile, quindi non esiste un maggiore importo impossibile. Il gestore respinge allora la coppia con un messaggio chiaro: a e b devono essere coprimi.
Le trappole classiche includono sei e nove, quattro e sei, e dieci e quindici. Su una coppia coprima valida il prodotto a per b è formato entro l'intervallo degli interi sicuri, il numero di Frobenius è ab meno a meno b e il conteggio dei non rappresentabili è l'intero esatto (a meno uno) per (b meno uno) su due. Non esiste un passaggio in virgola mobile che possa deviare un quasi-intero verso una risposta errata.
Campi assenti, stringhe vuote e tipi non numerici falliscono prima di qualsiasi aritmetica. La validazione fallita non viene addebitata.
Dove un calcolatore di Frobenius a due monete merita il proprio posto
I docenti usano un calcolatore del numero di Frobenius affinché gli studenti verifichino problemi di francobolli a due monete o in stile Chicken McNugget senza invertire un segno in ab meno a meno b. I preparatori di gare hanno bisogno di un oracolo deterministico che respinga le coppie non coprime invece di restituire una formula che smette di significare alcunché quando è presente un fattore comune.
I quaderni di semigruppi numerici e le dimostrazioni di programmazione intera partono spesso da due generatori e vogliono il conduttore, che è uno in più del numero di Frobenius, prima di passare a più generatori. Abbini questa pagina a un verificatore di coprimalità quando Le serve solo il test dell'mcd, e a uno strumento euclideo esteso quando Le servono i coefficienti di Bézout invece del maggiore importo impossibile.
Tenga le richieste entro i limiti documentati, fissi i campi numerici nei test e otterrà risposte riproducibili per i compiti, i plugin LMS e i worker di bordo, senza allestire un sistema di algebra computazionale per un'identità di due righe che ogni corso di teoria dei numeri finisce per scrivere alla lavagna.
Casi d'uso
Francobolli ed enigmi a due monete
Individui l'affrancatura maggiore che non può formarsi esattamente con due valori di francobollo coprimi, o il maggiore totale di cassa che due denominazioni non raggiungono.
Chiavi di correzione per aula e gare
Valuti voci in stile Chicken McNugget con un oracolo deterministico che respinge le coppie non coprime e restituisce ab meno a meno b per generatori validi.
Quaderni di semigruppi numerici
Inizializzi semigruppi a due generatori con il numero di Frobenius e il conteggio dei non rappresentabili prima di aggiungere un terzo generatore o calcolare il conduttore.
Domande frequenti
Che cos'è il numero di Frobenius di due interi coprimi?
È il maggiore intero che non può essere scritto come ax + by con interi non negativi x e y. Per a e b coprimi il valore è ab − a − b.
Perché a e b devono essere coprimi?
Se gcd(a,b) è maggiore di uno, ogni intero non divisibile per quell'mcd è irraggiungibile, quindi non esiste un maggiore importo impossibile.
Che cosa accade se una denominazione vale 1?
Ogni intero non negativo è rappresentabile. La formula restituisce −1 e il conteggio dei non rappresentabili è 0, il risultato chiuso coerente.
Risolve il problema Chicken McNugget per tre formati di confezione?
No. Questa pagina copre solo il caso a due monete (due generatori). Tre o più denominazioni non hanno una forma chiusa altrettanto semplice e restano fuori ambito.
Quanti importi non si possono comporre con due monete?
Tolga 1 a ciascun valore, moltiplichi e divida per 2: (a − 1)(b − 1)/2. Con monete da 4 e 7 risultano 9 importi impossibili, il più alto dei quali è 17.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/frobenius-number \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":4,"b":7}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/frobenius-number", {
method: "POST",
headers: {
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
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"method" => "POST",
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req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/frobenius-number", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"a": 4,
"b": 7
}Esempio di risposta
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"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.frobenius_number",
"status": "queued",
"_links": {
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}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Quando la coppia condivide un fattore comune maggiore di uno, restano irraggiungibili infiniti residui, così non esiste un maggiore importo impossibile e l'operazione fallisce con invalid_input invece di inventare un numero.
Contratto di ingresso, controllo di coprimalità e comportamento di errore
Invii un corpo JSON con due interi positivi obbligatori a e b. Sono accettate stringhe decimali e gli alias x o m per il primo valore e y o n per il secondo, così fogli di calcolo, stringhe di query e moduli d'aula riutilizzano un unico contratto. Ogni valore deve essere un intero intero da uno a dieci milioni; frazioni, notazione scientifica, scorie iniziali, zero, negativi e valori fuori da tale intervallo falliscono con invalid_input indicando il campo.
Dove un calcolatore di Frobenius a due monete merita il proprio posto
Poiché l'implementazione è parse pura di livello A, ogni chiamata riuscita costa la tariffa base pubblicata $0.002, senza token di modello e senza rete in uscita.
Domande tecniche
Quanto costa il calcolatore del numero di Frobenius?
Lo strumento del browser è gratuito. Le richieste API usano il saldo prepagato KIT a $0.002 per chiamata riuscita; l'ingresso non valido non viene addebitato.