Frobenius-Zahl zweier Münzen
Mit Münzen zu 4 und 7 lässt sich jeder Betrag über 17 zahlen, aber nie 17 selbst: Dieser Rechner findet diesen größten unmöglichen Betrag für zwei teilerfremde Werte und zählt die Lücken. Nützlich für Briefmarkenrätsel, Wettbewerbe und Zahlentheorie. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- A
- 4
- B
- 7
- Gcd
- 1
- Frobenius-Zahl
- 17
- Anzahl nicht darstellbarer Zahlen
- 9
Die Frobenius-Zahl zweier teilerfremder positiver ganzer Zahlen ist die größte ganze Zahl, die sich nicht als nichtnegative ganzzahlige Kombination dieser beiden Werte schreiben lässt. Im Zwei-Münzen-Problem können bei Denominationen a und b mit ggT eins manche Beträge genau gebildet werden und andere nicht; die Frobenius-Zahl ist der größte unmögliche Betrag. Dieser Rechner nimmt zwei positive ganze Zahlen entgegen, prüft ihre Teilerfremdheit und liefert ab minus a minus b, die geschlossene Formel für zwei Denominationen. Nutzen Sie ihn für Briefmarkenrätsel, Aufgaben im Stil Chicken McNugget, Wettbewerbstraining und den Unterricht numerischer Halbgruppen, ohne ein Computeralgebrasystem aufzusetzen.
Was die Zwei-Münzen-Frobenius-Zahl ist und wie die Formel arbeitet
Das Zwei-Münzen-Frobenius-Problem fragt nach der größten ganzen Zahl, die sich nicht als ax plus by ausdrücken lässt, wobei x und y nichtnegative ganze Zahlen sind und a und b teilerfremde positive ganze Zahlen. Ist der ggT von a und b gleich eins, ist jede hinreichend große ganze Zahl darstellbar und es gibt eine wohldefinierte größte Ausnahme. Sylvester bewies, dass diese Ausnahme a mal b minus a minus b ist.
Zum Beispiel ergeben die Denominationen vier und sieben siebzehn: mit Vieren und Siebenen können Sie jede ganze Zahl größer als siebzehn bilden, siebzehn selbst jedoch nicht. Die Denominationen drei und fünf ergeben sieben. Die Denominationen zwei und jede ungerade ganze Zahl n ergeben n minus zwei.
Die begleitende Anzahl positiver nicht darstellbarer ganzer Zahlen ist a minus eins mal b minus eins, geteilt durch zwei; für vier und sieben ist diese Anzahl neun. Ist eine Denomination eins, ist jede nichtnegative ganze Zahl darstellbar, die Formel liefert minus eins und die Anzahl der nicht Darstellbaren ist null. Das ist mathematisch stimmig, auch wenn eine Ein-Einheiten-Münze das Rätsel trivial macht.
Die Fähigkeit gibt das geparste Paar, seinen ggT (bei Erfolg stets eins), ein coprime-Kennzeichen, die Frobenius-Zahl, die Anzahl der nicht Darstellbaren und die Formelzeichenkette ab minus a minus b zurück, damit Sie die Identität neben der Antwort zeigen können.
Eingabevertrag, Teilerfremdheitsprüfung und Fehlerverhalten
Dezimalzeichenketten und die Aliase x oder m für den ersten Wert sowie y oder n für den zweiten werden akzeptiert, damit Tabellen, Abfragezeichenketten und Unterrichtsformulare einen einzigen Vertrag wiederverwenden. Nach dem Parsen berechnet die Engine den euklidischen ggT. Ist dieser ggT nicht genau eins, ist die Frobenius-Zahl undefiniert, weil jede nicht durch den ggT teilbare ganze Zahl für immer unerreichbar bleibt, sodass es keinen größten unmöglichen Betrag gibt.
Klassische Fallen sind sechs und neun, vier und sechs sowie zehn und fünfzehn. Bei einem gültigen teilerfremden Paar wird das Produkt a mal b im sicheren Ganzzahlbereich gebildet, die Frobenius-Zahl ist ab minus a minus b und die Anzahl der nicht Darstellbaren ist die exakte ganze Zahl (a minus eins) mal (b minus eins) durch zwei. Es gibt keinen Gleitkommaschritt, der eine Beinahe-Ganzzahl in eine falsche Antwort treiben könnte.
Fehlende Felder, leere Zeichenketten und nichtnumerische Typen scheitern vor jeder Arithmetik. Fehlgeschlagene Validierung wird nicht berechnet.
Wo ein Zwei-Münzen-Frobenius-Rechner seinen Nutzen zeigt
Lehrkräfte nutzen einen Frobenius-Zahl-Rechner, damit Lernende Zwei-Münzen-Briefmarken- oder Chicken-McNugget-Aufgaben prüfen können, ohne in ab minus a minus b ein Vorzeichen zu verdrehen. Wettbewerbstrainer brauchen ein deterministisches Orakel, das nicht teilerfremde Paare zurückweist, statt eine Formel zu liefern, die bei einem gemeinsamen Faktor nichts mehr bedeutet. Notizbücher zu numerischen Halbgruppen und Demos der ganzzahligen Programmierung beginnen oft mit zwei Erzeugern und wollen den Leiter, der um eins größer ist als die Frobenius-Zahl, bevor sie auf mehr Erzeuger wachsen.
Kombinieren Sie diese Seite mit einem Teilerfremdheitsprüfer, wenn Sie nur den ggT-Test brauchen, und mit einem erweiterten euklidischen Werkzeug, wenn Sie Bézout-Koeffizienten statt des größten unmöglichen Betrags brauchen. Halten Sie Anfragen in den dokumentierten Grenzen, pinnen Sie die Zahlfelder in Tests und Sie erhalten reproduzierbare Antworten für Hausaufgaben, LMS-Erweiterungen und Edge-Worker, ohne ein Computeralgebrasystem für eine zweizeilige Identität aufzusetzen, die jeder zahlentheoretische Kurs irgendwann an die Tafel schreibt.
Anwendungsfälle
Briefmarken und Zwei-Münzen-Rätsel
Finden Sie das größte Porto, das sich mit zwei teilerfremden Markenwerten nicht genau bilden lässt, oder den größten Kassentotal, den zwei Münzdenominationen nicht treffen.
Lösungsschlüssel für Unterricht und Wettbewerb
Bewerten Sie Aufgaben im Stil Chicken McNugget mit einem deterministischen Orakel, das nicht teilerfremde Paare zurückweist und für gültige Erzeuger ab minus a minus b liefert.
Notizbücher zu numerischen Halbgruppen
Starten Sie Halbgruppen mit zwei Erzeugern mit der Frobenius-Zahl und der Anzahl der nicht Darstellbaren, bevor Sie einen dritten Erzeuger hinzufügen oder den Leiter berechnen.
Häufige Fragen
Was ist die Frobenius-Zahl zweier teilerfremder ganzer Zahlen?
Sie ist die größte ganze Zahl, die sich nicht als ax + by mit nichtnegativen ganzen Zahlen x und y schreiben lässt. Für teilerfremde a und b ist der Wert ab − a − b.
Warum müssen a und b teilerfremd sein?
Ist gcd(a,b) größer als eins, bleibt jede nicht durch diesen ggT teilbare ganze Zahl unerreichbar, sodass es keinen größten unmöglichen Betrag gibt.
Was geschieht, wenn eine Denomination 1 ist?
Jede nichtnegative ganze Zahl ist darstellbar. Die Formel liefert −1 und die Anzahl der nicht Darstellbaren ist 0, das stimmige geschlossene Ergebnis.
Löst dies das Chicken-McNugget-Problem für drei Packungsgrößen?
Nein. Diese Seite behandelt nur den Zwei-Münzen-Fall (zwei Erzeuger). Drei oder mehr Denominationen haben keine ebenso einfache geschlossene Form und liegen außerhalb des Umfangs.
Wie viele Beträge lassen sich mit zwei Münzwerten nie bilden?
Ziehen Sie von jedem Wert 1 ab, multiplizieren Sie und teilen Sie durch 2: (a − 1)(b − 1)/2. Bei Münzen zu 4 und 7 sind das 9 unmögliche Beträge, der größte davon ist 17.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/frobenius-number \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":4,"b":7}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/frobenius-number", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 4,
"b": 7
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/frobenius-number",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 4,
"b": 7
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/frobenius-number", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":4,"b":7}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":4,"b":7}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/frobenius-number", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"a": 4,
"b": 7
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.frobenius_number",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Teilen das Paar einen gemeinsamen Faktor größer als eins, bleiben unendlich viele Reste unerreichbar, sodass es keinen größten unmöglichen Betrag gibt und die Aufgabe mit invalid_input scheitert, statt eine Zahl zu erfinden.
Eingabevertrag, Teilerfremdheitsprüfung und Fehlerverhalten
Senden Sie einen JSON-Körper mit zwei erforderlichen positiven ganzen Zahlen a und b. Jeder Wert muss eine ganze Zahl von eins bis zehn Millionen sein; Brüche, wissenschaftliche Notation, führender Ballast, Null, Negative und Werte außerhalb dieses Bereichs scheitern mit invalid_input und nennen das Feld.
Wo ein Zwei-Münzen-Frobenius-Rechner seinen Nutzen zeigt
Weil die Umsetzung reines Parse der Stufe A ist, kostet jeder erfolgreiche Aufruf den veröffentlichten Grundpreis $0.002, ohne Modell-Token und ohne ausgehendes Netz.
Technische Fragen
Was kostet der Rechner für die Frobenius-Zahl?
Das Browser-Werkzeug ist kostenlos. API-Anfragen nutzen das vorausbezahlte KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreichem Aufruf; ungültige Eingabe wird nicht berechnet.