Factorización prima de n!
10! se descompone en 2⁸ × 3⁴ × 5² × 7, y usted obtiene esa lista sin calcular nunca el producto completo. Escriba n entre 0 y 100000 y verá cada primo hasta n con su exponente, según la fórmula de Legendre. Gratis en su navegador.
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La factorización prima del factorial de n es un resultado clásico de la teoría de números: todo primo menor o igual que n aparece en n!, y su potencia exacta la da la fórmula de Legendre sin escribir nunca el producto enorme 1×2×…×n. Estudiantes, programadores de concursos y aprendices de criptografía necesitan esos exponentes para coeficientes binomiales, valoraciones p-ádicas y comprobaciones de divisibilidad factorial.
Qué calcula la fórmula de Legendre y por qué supera expandir n!
Para un entero no negativo n, n! es el producto de todos los enteros positivos hasta n (con las convenciones 0! = 1! = 1). Escribir ese producto completo resulta impráctico cuando n alcanza unas pocas decenas, porque el valor decimal de n!
crece más rápido de lo que puede contener cualquier tipo entero de anchura fija. Sin embargo, la factorización prima de n! queda completamente determinada por una forma cerrada breve: si p es primo y p ≤ n, el exponente de p en n!
es igual a la suma de apariencia infinita pero finita floor(n/p) + floor(n/p²) + floor(n/p³) + …, que se detiene en cuanto p^k supera n. Esa identidad es la fórmula de Legendre (también llamada fórmula de de Polignac). Cuenta cuántos múltiplos de p, de p², de p³, y así sucesivamente, aportan factores de p al expandir el producto 1·2·…·n.
= 2^8 × 3^4 × 5^2 × 7. No se requiere aleatoriedad, muestreo ni un factorial de multiprecisión: solo división entera y una lista de primos.
Dónde aparecen las factorizaciones factoriales en la práctica
Las valoraciones p-ádicas de factoriales surgen al simplificar coeficientes binomiales, calcular la mayor potencia de un primo que divide un multinomial o demostrar que un factorial es divisible por un entero dado. Los problemas de programación competitiva suelen pedir el exponente de p en n! o la factorización completa de n!
bajo un límite modest de n; la fórmula de Legendre es la clave de respuesta estándar. En la enseñanza, mostrar que 25! es divisible por 5 exactamente floor(25/5)+floor(25/25) = 5+1 = 6 veces concreta el argumento de conteo sin un muro de multiplicaciones.
Los cuadernos de criptografía y teoría de números a veces necesitan la firma prima de n! como bloque para ejemplos sobre números suaves o primoriales.
Qué puede hacer con ella
Comprobar valoraciones p-ádicas en tareas y concursos
Estudiantes y concursantes pueden verificar el exponente de cada primo en n! antes de entregar demostraciones o soluciones de programación que dependen de la fórmula de Legendre.
Simplificar coeficientes binomiales desde factorizaciones
Los scripts que cancelan primos en C(n,k) pueden obtener la factorización de n!, k! y (n−k)! desde este extremo y restar exponentes de forma determinista.
Construir demos de números suaves y factoriales
Cuadernos docentes y herramientas recreativas de teoría de números pueden mostrar la firma prima de n! sin expandir el valor factorial completo.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la factorización prima del factorial de n?
Es el producto de los primos p ≤ n elevados cada uno a la potencia dada por la fórmula de Legendre: floor(n/p) + floor(n/p²) + … hasta que la potencia supere n.
¿Cómo evita esta calculadora calcular n! de forma directa?
Lista los primos hasta n con una criba y aplica la suma de Legendre a cada primo. El enorme valor decimal de n! nunca se construye.
¿Qué ocurre si n es negativo?
El factorial solo se define aquí para enteros no negativos dentro del rango publicado.
¿Es gratuita la herramienta de factorización prima del factorial?
La herramienta del navegador es gratuita y se ejecuta en local.
¿Qué devuelven 0! y 1!?
Ambos valen 1, de modo que el array factors de la respuesta está vacío: no hay factores primos que listar.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/factorial-prime-factors \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":10}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/factorial-prime-factors", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 10
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/factorial-prime-factors",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 10
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/factorial-prime-factors", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":10}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":10}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/factorial-prime-factors", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"n": 10
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.factorial_prime_factors",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Límites
max_n | 100000 |
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Esta capacidad criba los primos hasta n, suma floor(n/p) + floor(n/p²) + … para cada primo y devuelve una lista ordenada de pares primo/exponente: determinista, sin conexión y gratuita para probar en el navegador antes de integrar la ruta de la API en tuberías de tareas o correctores automáticos.
Qué calcula la fórmula de Legendre y por qué supera expandir n!
Por ejemplo, con n = 10 los primos a lo sumo 10 son 2, 3, 5 y 7; el exponente de 2 es floor(10/2)+floor(10/4)+floor(10/8) = 5+2+1 = 8, el de 3 es 3+1 = 4, el de 5 es 2 y el de 7 es 1, de modo que 10!
Cómo llamar a la API y qué contiene la respuesta
En caso de éxito la respuesta repite n como accepted y devuelve factors como lista ascendente de objetos, cada uno con prime y exponent. Para n igual a 0 o 1 la lista de factores está vacía porque ambos factoriales valen 1 y 1 no tiene factores primos. Úselo desde resolutores de concursos, demostraciones de aula, scripts de valoración de coeficientes binomiales o cualquier flujo que necesite una factorización reproducible de n! sin instalar un sistema de álgebra computacional. Envíe un cuerpo JSON con un único campo obligatorio n: un número entero al menos 0 y como máximo cien mil (100000). Se aceptan los alias number y value para el mismo campo, de modo que formularios del navegador y scripts compartan un contrato. Los fallos de validación —n ausente, no entero, valor fraccionario, n negativo o por encima del máximo publicado— devuelven invalid_input y nunca se cobran. El precio es un $0.002 fijo por petición exitosa (ítem unitario con precio marginal cero).
Dónde aparecen las factorizaciones factoriales en la práctica
Mantenga n dentro del límite publicado para que la criba y los bucles de Legendre sigan siendo interactivos en el Worker de borde; para n enormes haría falta una pila de multiprecisión especializada, no esta capacidad ligera de parse. Las entradas negativas se rechazan porque el factorial real no está definido para enteros negativos en este contrato de API.