Valoración p-ádica
Cuente cuántas veces divide un primo a un número entero: 72 es 8 por 9, así que contiene tres veces el primo 2, su valoración 2-ádica es 3 y la parte que sobra es 9. También admite números negativos. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- N
- 72
- Potencia (W)
- 2
- Valoración
- 3
- Residuo
- 9
La valoración p-ádica es el exponente aritmético que mide cuántas veces un primo p divide a un entero n. Cursos de álgebra, teoría algebraica de números, problemas de concurso sobre factores finales y el análisis p-ádico emplean este único entero. Los estudiantes suelen confundirlo con la factorización prima completa o con la fórmula de Legendre para factoriales. Esta calculadora acepta n no nulo y un primo p, verifica la primalidad, extrae las potencias de p del valor absoluto de n y devuelve la valoración junto con el residual libre de p y una cadena de fórmula breve. Las bases compuestas o no primas se rechazan para preservar la definición clásica.
Qué mide la valoración p-ádica
De forma equivalente, escriba el valor absoluto de n como p a la k por m, donde m es un entero no divisible por p; entonces la valoración es k y m lleva el signo de n en esta calculadora como residual. Cuando p no divide a n en absoluto, el mayor k es cero y el residual coincide con n. Cuando n es una potencia pura de p, el residual tiene valor absoluto uno.
La definición excluye deliberadamente n igual a cero. Los manuales de teoría de números la introducen antes de los cuerpos locales, mientras que el material de programación competitiva la usa al contar factores de dos o cinco en un producto, simplificar fracciones módulo una potencia de primo o comprobar partes libres de cuadrados tras quitar potencias primas. Devolver valoración y residual permite reconstruir n como p a la valoración por residual y verificar la identidad sin un segundo paso de factorización.
Contrato de entrada, algoritmo, forma de respuesta y errores
El manejador comprueba primero que p sea al menos dos y luego ejecuta una prueba de primalidad determinista por división de prueba. Los compuestos pares, los cuadrados de primos y cualquier entero no primo fallan con un mensaje claro de que p debe ser primo; esos fallos no se facturan. El cero en n se rechaza con un mensaje de que la valoración p-ádica de cero no está definida.
Ejemplo: n igual a setenta y dos y p igual a dos da valoración tres y residual nueve porque setenta y dos es ocho por nueve. Ejemplo: n igual a cuarenta y cinco y p igual a dos da valoración cero y residual cuarenta y cinco porque dos no divide a cuarenta y cinco. El algoritmo solo divide por p de forma repetida; nunca factoriza n por completo, así que n muy compuestos grandes con p primo pequeño siguen siendo rápidos.
Dónde resulta útil la valoración p-ádica
Las aulas y las plataformas de tutoría usan una calculadora de valoración p-ádica para que el alumnado compruebe el exponente de un primo elegido sin escribir un bucle de factorización completa en cada ejercicio. Los ayudantes de programación competitiva necesitan un oráculo determinista que quite potencias de p al reducir fracciones, calcular multiplicidad en productos o verificar núcleos libres de cuadrados tras eliminar potencias de p. La validación fallida y un p no primo no consumen saldo.
Mantenga las peticiones dentro de los límites publicados, fije valuation y residual en las pruebas y obtendrá exponentes reproducibles para deberes, plugins LMS y workers en el borde sin montar infraestructura simbólica propia. Otras páginas de teoría de números de este kit cubren la factorización prima completa, exponentes factoriales vía Legendre y ceros finales; esta página responde de forma específica a quien busca la valoración de un entero en un solo primo.
Qué puede hacer con ella
Cuadernos p-ádicos y de cuerpos locales
Calcule valoraciones finitas en enteros antes de elevar ejemplos a Z_p o Q_p sin incrustar una biblioteca de álgebra computacional.
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre si n es cero?
La valoración p-ádica de cero es, por convención, +∞, no un entero finito, por lo que el cero se rechaza y no se factura.
¿Qué ocurre si p no es primo?
Se rechazan bases compuestas, unidad y negativas; la validación fallida no se cobra.
¿Depende la valoración del signo de n?
El residual conserva el signo de n de modo que n igual a p^valuation por residual sigue cumpliéndose.
¿Cuál es la valoración 2-ádica de 72?
Es 3, y la parte que sobra es 9. El primo 2 divide a 72 tres veces porque 72 es 8 por 9, y 9 ya no se puede dividir entre 2.
¿Qué significa la parte que sobra?
Es lo que queda tras quitar todos los factores del primo, así que ya no es divisible por él. Al multiplicarla por el primo elevado a la valoración recupera su número; 45 con el primo 2 da valoración 0 y sobra 45.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/p-adic-valuation \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":72,"p":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/p-adic-valuation", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 72,
"p": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/p-adic-valuation",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 72,
"p": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/p-adic-valuation", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":72,"p":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":72,"p":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/p-adic-valuation", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"n": 72,
"p": 2
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.p_adic_valuation",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Escriba n como p elevado a k por una unidad no divisible por p; ese k es v_p(n). El cero se rechaza porque v_p(0) es, por convención, más infinito, no un entero finito.
Qué significa la valoración p-ádica y cómo se define v_p(n)
Para un primo fijo p y un entero n no nulo, la valoración p-ádica v_p(n) es el mayor entero k mayor o igual que cero tal que p elevado a k sigue dividiendo a n. Los n negativos reciben la misma valoración que su valor absoluto porque la divisibilidad ignora el signo: v_p de menos doce con p igual a dos es la misma que para doce. En el valor absoluto p-ádico, la valoración de cero se toma como más infinito para que la fórmula del producto y las propiedades ultramétricas queden limpias; por ello esta API falla con invalid_input en lugar de inventar un código finito para el infinito. La valoración es aditiva en productos: v_p de a por b es v_p de a más v_p de b, y es el ladrillo del valor absoluto p-ádico dado por p a la potencia menos la valoración.
Contrato de entrada, algoritmo, forma de respuesta y errores
Envíe un cuerpo JSON con dos enteros obligatorios: n, un entero no nulo cuyo valor absoluto es como máximo un billón (10^12), y p, un primo al menos dos y como máximo un billón. Cada campo puede llegar como número JSON o como cadena de dígitos; los campos ausentes, las fracciones, los valores no finitos y las magnitudes fuera de rango fallan con invalid_input nombrando el campo. En caso de éxito el cuerpo repite n y p, devuelve valuation como entero no negativo, residual como el entero con signo n dividido por p a la valoración, divides como booleano verdadero cuando la valoración es positiva, y formula como cadena breve de la forma v_p de n igual a k.
Dónde una API de valoración p-ádica aporta valor real
Los cuadernos de teoría algebraica de números reducen preguntas locales sobre Z_p y Q_p a valoraciones finitas en enteros antes de elevar a series p-ádicas; un endpoint de parseo pequeño evita importar un sistema de álgebra computacional para una comprobación de dos argumentos. Como la implementación es parse puro de nivel A, cada llamada con éxito cuesta el precio base publicado $0.002 sin tokens de modelo ni red de salida.
Casos de integración
Comprobaciones de aula y deberes
Permita que el alumnado envíe n y el primo p y verifique v_p(n) más el residual libre de p frente a métodos manuales sin factorización completa.
Ayudas para concursos y scripts
Quite potencias de un primo fijo en productos, simplifique fracciones o pruebe multiplicidad con un endpoint determinista cobrado por ítem.
Preguntas técnicas
¿Cómo calculo la valoración p-ádica con esta API?
Envíe JSON con el entero no nulo n y el primo p. Si tiene éxito, la respuesta devuelve valuation (el exponente), residual (n / p^valuation), divides y una cadena de fórmula breve.
¿Cuánto cuesta la calculadora de valoración p-ádica?
La herramienta del navegador es gratuita. Las peticiones API usan saldo prepago KIT a $0.002 por llamada con éxito; la entrada inválida y un p no primo no se facturan.