Valutazione p-adica
Conti quante volte un primo divide un numero intero: 72 è 8 per 9, quindi contiene tre volte il primo 2, la sua valutazione 2-adica è 3 e la parte che resta è 9. Funziona anche con i numeri negativi. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- N
- 72
- Potenza (W)
- 2
- Valutazione
- 3
- Residuo
- 9
La valutazione p-adica è l'esponente aritmetico che misura quante volte un primo p divide un intero n. I corsi di algebra, la teoria algebrica dei numeri, i problemi di gara sui fattori finali e l'analisi p-adica usano questo unico intero. Gli studenti lo confondono spesso con la fattorizzazione prima completa o con la formula di Legendre per i fattoriali. Questo calcolatore accetta n non nullo e un primo p, verifica la primalità, estrae le potenze di p dal valore assoluto di n e restituisce la valutazione insieme al residuo libero da p e a una breve stringa di formula. Le basi composte o non prime vengono rifiutate per preservare la definizione classica.
Che cosa misura la valutazione p-adica
In modo equivalente, scriva il valore assoluto di n nella forma p alla k per m, dove m è un intero non divisibile per p; allora la valutazione è k e m porta il segno di n in questo calcolatore come residuo. Quando p non divide n affatto, il massimo k è zero e il residuo coincide con n. Quando n è una potenza pura di p, il residuo ha valore assoluto uno.
La definizione esclude deliberatamente n uguale a zero. I manuali di teoria dei numeri la introducono prima dei campi locali, mentre il materiale di programmazione competitiva la usa per contare fattori di due o cinque in un prodotto, semplificare frazioni modulo una potenza di primo o verificare parti libere da quadrati dopo aver rimosso potenze prime. Restituire valuation e residual consente di ricostruire n come p alla valuation per residual e verificare l'identità senza un secondo passaggio di fattorizzazione.
Contratto di ingresso, algoritmo, forma della risposta ed errori
Il gestore verifica prima che p sia almeno due e poi esegue un test di primalità deterministico per divisione di prova. I composti pari, i quadrati di primi e qualsiasi intero non primo falliscono con un messaggio chiaro che p deve essere primo; tali fallimenti non vengono addebitati. Lo zero per n viene rifiutato con un messaggio che la valutazione p-adica di zero è indefinita.
Esempio: n uguale a settantadue e p uguale a due produce valuation tre e residual nove perché settantadue è otto per nove. Esempio: n uguale a quarantacinque e p uguale a due produce valuation zero e residual quarantacinque perché due non divide quarantacinque. L'algoritmo divide solo per p in modo ripetuto; non fattorizza mai n completamente, così grandi n altamente composti con p primo piccolo restano veloci.
Dove la valutazione p-adica è utile
Le aule e le piattaforme di tutoraggio usano un calcolatore di valutazione p-adica affinché gli studenti verifichino l'esponente di un primo scelto senza scrivere un ciclo di fattorizzazione completa per ogni compito. Gli ausili per la programmazione competitiva necessitano di un oracolo deterministico che tolga potenze di p riducendo frazioni, calcolando molteplicità nei prodotti o verificando nuclei liberi da quadrati dopo aver rimosso potenze di p. Le validazioni fallite e un p non primo non consumano saldo.
Mantenga le richieste entro i limiti pubblicati, fissi valuation e residual nei test e otterrà esponenti riproducibili per compiti, plugin LMS e worker all'edge senza erigere infrastruttura simbolica propria. Le pagine sorelle di teoria dei numeri in questo kit coprono la fattorizzazione prima completa, gli esponenti fattoriali via Legendre e gli zeri finali; questa pagina risponde specificamente a chi cerca la valutazione di un intero per un solo primo.
Casi d'uso
Taccuini p-adici e campi locali
Calcoli valutazioni finite sugli interi prima di elevare esempi a Z_p o Q_p senza incorporare una libreria di algebra computazionale.
Domande frequenti
Cosa succede se n è zero?
La valutazione p-adica di zero è, per convenzione, +∞, non un intero finito, quindi lo zero viene rifiutato e non addebitato.
Cosa succede se p non è primo?
Basi composte, unità e negative vengono rifiutate; la validazione fallita non viene addebitata.
La valutazione dipende dal segno di n?
Il residuo conserva il segno di n in modo che n uguale a p^valuation per residual resti valido.
Qual è la valutazione 2-adica di 72?
È 3, con una parte residua di 9. Il primo 2 divide 72 tre volte perché 72 è 8 per 9, e 9 non è più divisibile per 2.
Che cosa significa la parte residua?
È ciò che resta dopo aver tolto tutti i fattori del primo, quindi non è più divisibile per esso. Moltiplicandola per il primo elevato alla valutazione ritrova il suo numero; 45 con il primo 2 dà valutazione 0 e resto 45.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/p-adic-valuation \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":72,"p":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/p-adic-valuation", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
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body: JSON.stringify({
"n": 72,
"p": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/p-adic-valuation",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 72,
"p": 2
},
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task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/p-adic-valuation", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":72,"p":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":72,"p":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/p-adic-valuation", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"n": 72,
"p": 2
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.p_adic_valuation",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Scriva n come p elevato a k moltiplicato per un'unità non divisibile per p; quel k è v_p(n). Lo zero viene rifiutato perché v_p(0) è, per convenzione, più infinito, non un intero finito.
Cosa significa la valutazione p-adica e come si definisce v_p(n)
Per un primo fisso p e un intero n non nullo, la valutazione p-adica v_p(n) è il massimo intero k maggiore o uguale a zero tale che p elevato a k divida ancora n. Gli n negativi ricevono la stessa valutazione del valore assoluto perché la divisibilità ignora il segno: v_p di meno dodici con p uguale a due è la stessa che per dodici. Nel valore assoluto p-adico, la valutazione di zero è presa come più infinito affinché la formula del prodotto e le proprietà ultrametriche restino pulite; questa API quindi fallisce con invalid_input invece di inventare un codice finito per l'infinito. La valutazione è additiva sui prodotti: v_p di a per b è v_p di a più v_p di b, ed è il mattone del valore assoluto p-adico dato da p alla potenza meno la valutazione.
Contratto di ingresso, algoritmo, forma della risposta ed errori
Invii un corpo JSON con due interi obbligatori: n, un intero non nullo il cui valore assoluto è al massimo un bilione (10^12), e p, un primo almeno due e al massimo un bilione. Ogni campo può arrivare come numero JSON o come stringa di cifre; campi mancanti, frazioni, valori non finiti e magnitudini fuori intervallo falliscono con invalid_input nominando il campo. In caso di successo il corpo ripete n e p, restituisce valuation come intero non negativo, residual come l'intero con segno n diviso per p alla valuation, divides come booleano vero quando la valuation è positiva, e formula come breve stringa della forma v_p di n uguale a k.
Dove un'API di valutazione p-adica rende il suo valore
I taccuini di teoria algebrica dei numeri riducono domande locali su Z_p e Q_p a valutazioni finite sugli interi prima di salire a serie p-adiche; un piccolo endpoint di parse evita di importare un sistema di algebra computazionale per un controllo a due argomenti. Poiché l'implementazione è parse puro di livello A, ogni chiamata riuscita costa il prezzo base pubblicato $0.002 senza token di modello né rete in uscita.
Casi di integrazione
Controlli in aula e compiti
Consenta agli studenti di inviare n e il primo p e di verificare v_p(n) più il residuo libero da p rispetto ai metodi a mano senza fattorizzazione completa.
Aiuti per gare e script
Tolga potenze di un primo fisso da prodotti, semplifichi frazioni o testi la molteplicità con un endpoint deterministico tariffato per elemento.
Domande tecniche
Come calcola la valutazione p-adica con questa API?
Invii JSON con l'intero non nullo n e il primo p. In caso di successo la risposta restituisce valuation (l'esponente), residual (n / p^valuation), divides e una breve stringa di formula.
Quanto costa il calcolatore di valutazione p-adica?
Lo strumento nel browser è gratuito. Le richieste API usano il saldo prepagato KIT a $0.002 per chiamata riuscita; input non valido e p non primo non vengono addebitati.