ForHosting KIT · الرياضيات

تحليل n! إلى عوامل أولية

يتحلل 10! إلى 2⁸ × 3⁴ × 5² × 7، وتحصل على هذه القائمة دون حساب الجداء الكامل أبدًا. أدخل n من 0 إلى 100000 لترى كل عدد أولي حتى n مع أسّه وفق صيغة ليجاندر. مجاني في متصفحك.

مجاني
يعمل في متصفحك
دون تسجيل
بياناتك لا تغادر جهازك

شغّل الأداة مجانًا اطّلع على الـAPI

استخدمها من الويبAPIالبريدTelegramالتطبيق قريبًا

يُعدّ التحليل إلى عوامل أولية لمضروب n نتيجة كلاسيكية في نظرية الأعداد: كل عدد أولي لا يتجاوز n يظهر في n!، وتُعطى قوته الدقيقة بصيغة ليجاندر دون كتابة الجداء الضخم 1×2×…×n أبدًا. يحتاج الطلاب ومبرمجو المسابقات ومتعلمو التشفير إلى هذه الأسس للمعاملات الثنائية والتقييمات p-أديكية وفحوصات قابلية القسمة بالمضروب.

ما الذي تحسبه صيغة ليجاندر ولماذا تتفوق على توسيع n!

لعدد صحيح غير سالب n، يكون n! جداء كل الأعداد الصحيحة الموجبة حتى n (مع الاصطلاحين 0! = 1! = 1). كتابة ذلك الجداء بالكامل تصبح غير عملية حين يبلغ n بضع عشرات، لأن القيمة العشرية لـ n!

تنمو أسرع مما يستوعبه أي نوع عدد صحيح بعرض ثابت. ومع ذلك فإن التحليل إلى عوامل أولية لـ n! يتحدد بالكامل بشكل مغلق قصير: إذا كان p أوليًا وp ≤ n، فإن أس p في n!

يساوي المجموع الذي يبدو لا نهائيًا لكنه منتهٍ floor(n/p) + floor(n/p²) + floor(n/p³) + …، ويتوقف حالما يتجاوز p^k القيمة n. تلك الهوية هي صيغة ليجاندر (وتُسمى أيضًا صيغة دو بوليغناك). تعدّ كم من مضاعفات p وp² وp³ وهكذا تساهم بعوامل p عند توسيع الجداء 1·2·…·n.

= 2^8 × 3^4 × 5^2 × 7. لا عشوائية ولا أخذ عينات ولا مضروب متعدد الدقة — فقط قسمة صحيحة وقائمة أعداد أولية.

أين تظهر تحليلات المضروب في الممارسة

تظهر التقييمات p-أديكية للمضاريب كلما بسّطت معاملات ثنائية، أو حسبت أعلى قوة لأول يقسم متعدد حدود، أو أثبتت أن مضروبًا يقبل القسمة على عدد صحيح معطى. غالبًا ما تطلب مسائل البرمجة التنافسية أس p في n! أو التحليل الكامل لـ n!

تحت حد معتدل لـ n؛ وصيغة ليجاندر هي مفتاح الإجابة القياسي. في التدريس، إظهار أن 25! يقبل القسمة على 5 بالضبط floor(25/5)+floor(25/25) = 5+1 = 6 مرات يجعل حجة العد ملموسة دون جدار من الضرب.

تحتاج دفاتر التشفير ونظرية الأعداد أحيانًا إلى التوقيع الأولي لـ n! كلبنة لأمثلة عن الأعداد الملساء أو البريمواليات. أبقِ n ضمن الحد المنشور حتى تبقى الغربلة وحلقات ليجاندر تفاعلية على عامل الحافة؛ أما n الهائلة فتتطلب مكدسًا متعدد الدقة متخصصًا لا هذه القدرة الخفيفة لـ parse.

حالات الاستخدام

التحقق من التقييمات p-أديكية في الواجبات والمسابقات

يمكن للطلاب والمتسابقين التحقق من أس كل أول في n! قبل تسليم براهين أو حلول برمجية تعتمد على صيغة ليجاندر.

تبسيط المعاملات الثنائية من التحليلات

يمكن للسكربتات التي تلغي الأعداد الأولية في C(n,k) سحب تحليل n! وk! و(n−k)! من هذا الطرف وطرح الأسس حتميًا.

بناء عروض للأعداد الملساء والمضاريب

يمكن لدفاتر التدريس وأدوات نظرية الأعداد الترفيهية عرض التوقيع الأولي لـ n! دون توسيع قيمة المضروب الكاملة.

الأسئلة الشائعة

ما التحليل إلى عوامل أولية لمضروب n؟

هو جداء الأعداد الأولية p ≤ n كل منها مرفوع إلى القوة التي تعطيها صيغة ليجاندر: floor(n/p) + floor(n/p²) + … حتى تتجاوز القوة n.

كيف تتجنب هذه الحاسبة حساب n! مباشرة؟

تسرد الأعداد الأولية حتى n بغربال ثم تطبق مجموع ليجاندر لكل أول. لا تُبنى القيمة العشرية الهائلة لـ n! أبدًا.

ماذا يحدث إذا كان n سالبًا؟

المضروب معرّف هنا فقط للأعداد الصحيحة غير السالبة ضمن النطاق المنشور.

ماذا يعيد 0! و1!؟

كلاهما يساوي 1، لذا مصفوفة factors في الاستجابة فارغة — لا عوامل أولية لتُدرج.

كم مرة يقسم العدد 5 مضروب 25؟

ست مرات بالضبط. فحتى 25 توجد خمسة مضاعفات للعدد 5، ومضاعف واحد للعدد 25 يضيف عاملًا آخر من 5، فيكون المجموع 5 زائد 1 أي 6.

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.

الـEndpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/numth/factorial-prime-factors

صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.

استدعِ الخدمة من بيئتك

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/factorial-prime-factors \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"n":10}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/factorial-prime-factors", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "n": 10
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/numth/factorial-prime-factors",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "n": 10
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/factorial-prime-factors", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"n":10}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"n":10}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/factorial-prime-factors", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

مثال على الطلب

{
  "n": 10
}

مثال على الاستجابة

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "numth.factorial_prime_factors",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.

الأسعار

لكل طلب$0.002

السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.

الحدود

max_n 100000

الأخطاء

HTTP	الرمز	المعنى
`401`	`unauthorized`	مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك.
`402`	`insufficient_balance`	رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة.
`404`	`unknown_type`	نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب.
`429`	`rate_limited`	تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة.

ملاحظات تقنية

تغربل هذه القدرة الأعداد الأولية حتى n، وتجمع floor(n/p) + floor(n/p²) + … لكل أول، وتعيد قائمة مرتبة من أزواج أول/أس — حتمية، دون اتصال، ومجانية للتجربة في المتصفح قبل ربط مسار API بأنابيب الواجبات أو المصححات الآلية.

ما الذي تحسبه صيغة ليجاندر ولماذا تتفوق على توسيع n!

على سبيل المثال، مع n = 10 تكون الأعداد الأولية حتى 10 هي 2 و3 و5 و7؛ أس 2 هو floor(10/2)+floor(10/4)+floor(10/8) = 5+2+1 = 8، وأس 3 هو 3+1 = 4، وأس 5 هو 2، وأس 7 هو 1، لذا 10!

كيفية استدعاء API وما تحتويه الاستجابة

عند النجاح تعيد الاستجابة n كـ accepted وfactors كقائمة تصاعدية من كائنات لكل منها prime وexponent. عندما يساوي n 0 أو 1 تكون قائمة العوامل فارغة لأن كلا المضروبين يساوي 1 وللواحد لا عوامل أولية. استخدمها من حلول المسابقات وعروض الصف وسكربتات تقييم المعاملات الثنائية أو أي سير عمل يحتاج تحليلًا قابلاً للتكرار لـ n! دون تثبيت نظام جبر حاسوبي. أرسل جسم JSON بحقل إلزامي واحد n — عدد صحيح لا يقل عن 0 ولا يزيد على مئة ألف (100000). تُقبل الأسماء البديلة number وvalue لنفس الحقل حتى تشارك نماذج المتصفح والسكربتات عقدًا واحدًا. إخفاقات التحقق — n مفقود، غير صحيح، قيمة كسرية، n سالب أو فوق الحد المنشور — تعيد invalid_input ولا تُحصَّل أبدًا. التسعير $0.002 ثابت لكل طلب ناجح (عنصر وحدوي بسعر هامشي صفري).

أين تظهر تحليلات المضروب في الممارسة

تُرفض المدخلات السالبة لأن المضروب الحقيقي غير معرّف للأعداد الصحيحة السالبة في عقد API هذا.

أسئلة تقنية

هل أداة تحليل المضروب إلى عوامل أولية مجانية؟

أداة المتصفح مجانية وتعمل محليًا. تستخدم استدعاءات API رصيد KIT المدفوع مسبقًا بسعر $0.002 لكل طلب ناجح؛ المهام الفاشلة لا تُحصَّل أبدًا.

اطّلع على توثيق KIT الكامل ←

شغّل الأداة مجانًا

ما الذي تحسبه صيغة ليجاندر ولماذا تتفوق على توسيع n!

أين تظهر تحليلات المضروب في الممارسة

حالات الاستخدام

التحقق من التقييمات p-أديكية في الواجبات والمسابقات

تبسيط المعاملات الثنائية من التحليلات

بناء عروض للأعداد الملساء والمضاريب

الأسئلة الشائعة

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

الـEndpoint

استدعِ الخدمة من بيئتك

مثال على الطلب

مثال على الاستجابة

الأسعار

الحدود

الأخطاء

ملاحظات تقنية

ما الذي تحسبه صيغة ليجاندر ولماذا تتفوق على توسيع n!

كيفية استدعاء API وما تحتويه الاستجابة

أين تظهر تحليلات المضروب في الممارسة

أسئلة تقنية

شكرًا