Fatoração prima de n!
10! se decompõe em 2⁸ × 3⁴ × 5² × 7, e você recebe essa lista sem calcular o produto inteiro. Digite n entre 0 e 100000 e veja cada primo até n com seu expoente, obtido pela fórmula de Legendre. Grátis no seu navegador.
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A fatoração prima do fatorial de n é um resultado clássico da teoria dos números: todo primo no máximo n aparece em n!, e sua potência exata é dada pela fórmula de Legendre sem nunca escrever o produto enorme 1×2×…×n. Alunos, programadores de competições e aprendizes de criptografia precisam desses expoentes para coeficientes binomiais, valorações p-ádicas e checagens de divisibilidade fatorial.
O que a fórmula de Legendre calcula e por que supera expandir n!
Para um inteiro não negativo n, n! é o produto de todos os inteiros positivos até n (com as convenções 0! = 1! = 1). Escrever esse produto por completo torna-se impraticável quando n chega a algumas dezenas, porque o valor decimal de n!
cresce mais rápido do que qualquer tipo inteiro de largura fixa consegue guardar. Ainda assim, a fatoração prima de n! fica completamente determinada por uma forma fechada curta: se p é primo e p ≤ n, o expoente de p em n!
é igual à soma de aparência infinita mas finita floor(n/p) + floor(n/p²) + floor(n/p³) + …, que para quando p^k ultrapassa n. Essa identidade é a fórmula de Legendre (também chamada fórmula de de Polignac). Ela conta quantos múltiplos de p, de p², de p³ e assim por diante contribuem com fatores de p ao expandir o produto 1·2·…·n.
= 2^8 × 3^4 × 5^2 × 7. Não há aleatoriedade, amostragem nem fatorial de multiprecisão — apenas divisão inteira e uma lista de primos.
Onde as fatorações fatoriais aparecem na prática
Valorações p-ádicas de fatoriais surgem ao simplificar coeficientes binomiais, calcular a maior potência de um primo que divide um multinomial ou provar que um fatorial é divisível por um inteiro dado. Problemas de programação competitiva costumam pedir o expoente de p em n! ou a fatoração completa de n!
sob um limite modesto de n; a fórmula de Legendre é a chave de resposta padrão. No ensino, mostrar que 25! é divisível por 5 exatamente floor(25/5)+floor(25/25) = 5+1 = 6 vezes torna o argumento de contagem concreto sem um muro de multiplicações.
Cadernos de criptografia e teoria dos números às vezes precisam da assinatura prima de n! como bloco para exemplos sobre números suaves ou primoriais.
Casos de uso
Conferir valorações p-ádicas em tarefas e competições
Alunos e competidores podem verificar o expoente de cada primo em n! antes de entregar provas ou soluções de programação que dependem da fórmula de Legendre.
Montar demos de números suaves e fatoriais
Cadernos didáticos e ferramentas recreativas de teoria dos números podem exibir a assinatura prima de n! sem expandir o valor fatorial completo.
Perguntas frequentes
Qual é a fatoração prima do fatorial de n?
É o produto dos primos p ≤ n cada um elevado à potência dada pela fórmula de Legendre: floor(n/p) + floor(n/p²) + … até a potência ultrapassar n.
Como esta calculadora evita computar n! diretamente?
Lista os primos até n com uma peneira e aplica a soma de Legendre a cada primo. O enorme valor decimal de n! nunca é construído.
O que acontece se n for negativo?
O fatorial só é definido aqui para inteiros não negativos dentro do intervalo publicado.
A ferramenta de fatoração prima do fatorial é gratuita?
A ferramenta do navegador é gratuita e roda localmente.
O que 0! e 1! devolvem?
Ambos valem 1, então o array factors da resposta fica vazio — não há fatores primos a listar.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/factorial-prime-factors \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":10}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/factorial-prime-factors", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 10
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/factorial-prime-factors",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 10
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/factorial-prime-factors", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":10}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":10}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/factorial-prime-factors", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"n": 10
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.factorial_prime_factors",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Limites
max_n | 100000 |
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Esta capacidade peneira os primos até n, soma floor(n/p) + floor(n/p²) + … para cada primo e devolve uma lista ordenada de pares primo/expoente — determinística, offline e gratuita para testar no navegador antes de conectar o caminho da API a pipelines de tarefas ou corretores automáticos.
O que a fórmula de Legendre calcula e por que supera expandir n!
Por exemplo, com n = 10 os primos no máximo 10 são 2, 3, 5 e 7; o expoente de 2 é floor(10/2)+floor(10/4)+floor(10/8) = 5+2+1 = 8, o de 3 é 3+1 = 4, o de 5 é 2 e o de 7 é 1, de modo que 10!
Como chamar a API e o que a resposta contém
Em caso de sucesso a resposta ecoa n como accepted e devolve factors como lista ascendente de objetos, cada um com prime e exponent. Para n igual a 0 ou 1 a lista de fatores fica vazia porque ambos os fatoriais valem 1 e 1 não tem fatores primos. Use em solucionadores de competição, demos de sala de aula, scripts de valoração de coeficientes binomiais ou qualquer fluxo que precise de fatoração reproduzível de n! sem instalar um sistema de álgebra computacional. Envie um corpo JSON com um único campo obrigatório n — um número inteiro de pelo menos 0 e no máximo cem mil (100000). Os aliases number e value são aceitos para o mesmo campo, para que formulários do navegador e scripts compartilhem um contrato. Falhas de validação — n ausente, não inteiro, valor fracionário, n negativo ou acima do máximo publicado — retornam invalid_input e nunca são cobradas. O preço é um US$ 0,002 fixo por requisição bem-sucedida (item unitário com preço marginal zero).
Onde as fatorações fatoriais aparecem na prática
Mantenha n dentro do limite publicado para que a peneira e os laços de Legendre permaneçam interativos no Worker de borda; para n enormes seria necessária uma pilha de multiprecisão especializada, não esta capacidade leve de parse. Entradas negativas são rejeitadas porque o fatorial real não está definido para inteiros negativos neste contrato de API.
Casos de integração
Simplificar coeficientes binomiais a partir de fatorações
Scripts que cancelam primos em C(n,k) podem obter a fatoração de n!, k! e (n−k)! neste endpoint e subtrair expoentes de forma determinística.