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Identidades de soma e diferença

Desenvolva o seno ou o cosseno da soma ou da diferença de dois ângulos em graus: sen(30° + 45°) é calculado como sen 30 cos 45 mais cos 30 sen 45 e dá 0,965925826289 para o ângulo combinado de 75°. Grátis no seu navegador.

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Exemplo resolvido

Se você digitar

A: 30
B: 45
Fn: Sin
Operação: Sum

Você obtém

Valor: 0,9659258263
Ângulo combinado: 75
Identidade: sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

As identidades de soma e diferença transformam dois ângulos separados no seno ou no cosseno da combinação, sem somar primeiro as medidas e depois acionar uma única tecla trigonométrica. Dados dois ângulos finitos a e b em graus, esta ferramenta expande as formas clássicas de produto: o seno de uma soma é seno a vezes cosseno b mais cosseno a vezes seno b; o seno de uma diferença inverte o sinal misto; o cosseno de uma soma é cosseno a vezes cosseno b menos seno a vezes seno b; e o cosseno de uma diferença soma o produto misto.

Como as identidades de soma e diferença expandem seno e cosseno

Comece com dois ângulos reais a e b expressos em graus. Converta cada medida para radianos apenas para que as rotinas de seno e cosseno em ponto flutuante possam rodar; em seguida avalie sen a, cos a, sen b e cos b uma única vez. As quatro identidades clássicas são produtos desses quatro números, não uma chamada única sobre a medida já combinada.

O seno de a mais b equivale a sen a vezes cos b mais cos a vezes sen b. O seno de a menos b usa os mesmos produtos com um menos no termo misto: sen a cos b menos cos a sen b. O cosseno de a mais b equivale a cos a vezes cos b menos sen a vezes sen b.

O cosseno de a menos b inverte esse sinal interno para que o produto misto seja somado em vez de subtraído. Essas expansões são identidades, não aproximações: valem para todo par real, inclusive ângulos negativos, ângulos reflexos e medidas bem fora de uma volta da circunferência. Usar a forma de produto é o sentido de uma conferência em sala: o resultado numérico deve coincidir com a identidade expandida, não com outro caminho de calculadora que esconde a álgebra atrás de um único argumento combinado.

Como a implementação usa só validação de números finitos, quatro avaliações trigonométricas e um punhado de multiplicações e somas, é plenamente determinística: o mesmo par, função e operação produzem sempre o mesmo valor arredondado.

Onde as identidades de soma e diferença aparecem no trabalho real

Cursos de trigonometria do ensino médio e da universidade pedem com frequência expandir sen de a mais b ou cos de a menos b sem calculadora, e depois conferir o valor numérico com uma tabela de ângulos notáveis exatos. Topografia e navegação combinam defasagens de rumo; áudio e processamento de sinais somam ângulos de fase; motores de jogo e pipelines CAD rotacionam orientações por incrementos sucessivos e ainda precisam do seno ou do cosseno da medida combinada para um vetor de base.

Se mais adiante você precisar da tangente de um ângulo combinado, de uma expansão de ângulo dobro, de uma forma de semiângulo ou de um resolvedor completo de triângulo retângulo, trate-os como intenções de busca distintas em vez de sobrecarregar esta página de identidades. Mantenha as requisições pequenas, fixe o valor arredondado nos testes e você terá um oráculo reproduzível para tarefas, complementos de um LMS e workers de borda, sem montar um sistema de álgebra computacional próprio.

Casos de uso

Conferências de identidade em tarefas e provas

Expanda sen(a±b) ou cos(a±b) a partir de dois ângulos em graus e verifique o valor numérico contra resultados exatos de ângulos notáveis.

Pipelines de fase, rumo e rotação

Combine dois ângulos de orientação ou de fase e obtenha o seno ou o cosseno da soma ou da diferença para código gráfico, de áudio ou de navegação.

Perguntas frequentes

Quais identidades de soma e diferença esta ferramenta avalia?

As quatro identidades clássicas de produto: sin(a+b)=sin a cos b+cos a sin b, sin(a−b)=sin a cos b−cos a sin b, cos(a+b)=cos a cos b−sin a sin b, e cos(a−b)=cos a cos b+sin a sin b. Escolha fn e operation para ficar com uma.

Os ângulos de entrada estão em graus ou em radianos?

Somente graus. Envie a e b como medidas finitas em graus. A implementação converte para radianos internamente para seno e cosseno e depois aplica os produtos da identidade.

O que acontece se um ângulo não for finito?

Valores ausentes, cadeias vazias, NaN e Infinity são rejeitados e não são cobrados.

É possível avaliar seno e cosseno de a+b e de a−b em uma só chamada?

Não. Cada chamada avalia uma identidade: escolha fn (sin ou cos) e operation (sum ou difference). Assim a página permanece focada em um único valor resultante.

Quanto custa a ferramenta de identidades de soma e diferença?

A ferramenta do navegador é gratuita e roda localmente.

Ferramentas relacionadas

Para desenvolvedores — acesso via API

Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.

Endpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/math/sum-difference-identities

Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.

Chame do seu código

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/sum-difference-identities \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"a":30,"b":45,"fn":"sin","operation":"sum"}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/sum-difference-identities", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "a": 30,
    "b": 45,
    "fn": "sin",
    "operation": "sum"
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/math/sum-difference-identities",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "a": 30,
    "b": 45,
    "fn": "sin",
    "operation": "sum"
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/sum-difference-identities", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"a":30,"b":45,"fn":"sin","operation":"sum"}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"a":30,"b":45,"fn":"sin","operation":"sum"}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/sum-difference-identities", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Exemplo de requisição

{
  "a": 30,
  "b": 45,
  "fn": "sin",
  "operation": "sum"
}

Exemplo de resposta

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "math.sum_difference_identities",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.

Preço

por chamadaUS$ 0,002

Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.

Erros

HTTP	Código	O que significa
`401`	`unauthorized`	Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization.
`402`	`insufficient_balance`	Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo.
`404`	`unknown_type`	Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo.
`429`	`rate_limited`	Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo.

Notas técnicas

Alunos que conferem tarefas, docentes que redigem gabaritos e engenheiros que combinam defasagens de fase ou rumo compartilham um contrato JSON determinístico que ecoa ambos os ângulos, nomeia a identidade aplicada, informa a medida combinada e devolve o valor resultante. Ângulos não finitos falham com invalid_input e não são cobrados. O caminho gratuito do navegador e a API compartilham uma única função pura, de modo que uma demonstração e um script nunca discordam.

O que você envia e o que o avaliador de identidades devolve

Envie quatro campos. a e b são números finitos obrigatórios: o primeiro e o segundo ângulo em graus. Os dois domínios são enumerações fechadas para que o formulário ofereça um seletor em vez de pedir que você memorize uma sintaxe. Texto não numérico, cadeias vazias, NaN e Infinity falham com invalid_input nomeando o campo, e essas falhas não são cobradas. fn deve ser sin ou cos; operation deve ser sum ou difference. Os aliases angle_a e alpha para a, angle_b e beta para b, function ou trig para fn, e op para operation são aceitos e mapeados aos nomes canônicos. Em caso de sucesso, o JSON ecoa a, b, fn e operation, informa combined_angle como a mais b ou a menos b em graus, nomeia a cadeia de identidade aplicada e devolve value como o seno ou o cosseno avaliado, arredondado a doze casas decimais para que os exemplos de referência permaneçam estáveis entre executores. Uma conferência clássica: trinta graus e quarenta e cinco graus com fn sin e operation sum produzem combined_angle setenta e cinco e um valor próximo de 0.966, que coincide com o radical exato (raiz de seis mais raiz de dois) sobre quatro. Sessenta graus e trinta graus com fn cos e operation difference produzem combined_angle trinta e um valor próximo de 0.866, o cosseno familiar de trinta graus. Combine a resposta com a sua própria visualização se precisar de um esboço da circunferência unitária; este endpoint avalia uma identidade escolhida e não emite gráficos nem prosa passo a passo além do próprio campo identity.

Onde as identidades de soma e diferença aparecem no trabalho real

Um endpoint confiável com um filtro rigoroso de ângulo finito acelera a correção e elimina erros de planilha em que alguém digitou graus em uma célula de radianos ou subtraiu o produto misto com o sinal errado. Como esta capacidade é um motor parse puro, o preço da API é a base publicada de US$ 0,002 por item bem-sucedido e a validação falha não consome saldo.

Casos de integração

Fixtures didáticos determinísticos

Gere fixtures estáveis de identidades de soma e diferença para testes unitários e documentação, com a mesma função pura no navegador e na API.

Ver a documentação completa do KIT →

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Exemplo resolvido

Como as identidades de soma e diferença expandem seno e cosseno

Onde as identidades de soma e diferença aparecem no trabalho real

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Perguntas frequentes

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Exemplo de requisição

Exemplo de resposta

Preço

Erros

Notas técnicas

O que você envia e o que o avaliador de identidades devolve

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Casos de integração

Fixtures didáticos determinísticos

obrigado