Calculadora de volume do paraboloide

Um paraboloide circular de revolução é o sólido obtido ao girar um arco parabólico em torno do seu eixo, de modo que toda seção transversal paralela à base é um disco cujo raio cresce com a raiz quadrada da distância axial ao vértice. Quando o raio da base na extremidade aberta e a altura do vértice ao plano da base são conhecidos e estritamente positivos, a fórmula clássica de volume fica totalmente determinada: metade de pi vezes o quadrado do raio vezes a altura, que é exatamente metade do volume do cilindro circular reto que compartilha a mesma base e a mesma altura. Alunos encontram essa identidade de meio cilindro em unidades de geometria espacial sobre sólidos de revolução; engenheiros e fabricantes precisam do mesmo valor para antenas parabólicas, aproximações de cone de nariz, fundos de tanque e notas de embalagem que listam apenas r e h.

O que é um paraboloide de revolução e por que o volume é metade do cilindro

Na geometria euclidiana espacial, um paraboloide circular de revolução é gerado ao rotacionar uma parábola em torno do seu eixo de simetria. No vértice a seção colapsa a um ponto; à distância axial z do vértice, o raio da fatia circular escala com a raiz quadrada de z, atingindo o raio completo da base r quando z é igual à altura h. O sólido fica, portanto, completamente determinado, a menos de congruência, pelos dois comprimentos positivos r e h.

Integrar as áreas dos discos ao longo do eixo produz a forma fechada de volume igual a metade de pi r ao quadrado h. O mesmo resultado costuma ser enunciado por comparação com o cilindro circular reto envolvente de raio r e altura h, cujo volume é pi r ao quadrado h: o paraboloide ocupa exatamente a metade desse cilindro.

Essa identidade de meio cilindro é o fato memorável de lição de casa e prova que as pessoas buscam com frases como calculadora de volume do paraboloide, volume de um paraboloide de revolução, paraboloide meio cilindro e volume a partir do raio da base e da altura.

Como esta calculadora valida a entrada e aplica a fórmula fechada

Campos ausentes, cadeias vazias, tokens não numéricos, zero e medidas negativas falham antes de qualquer volume ser devolvido. Quando ambas as medidas passam nas checagens de positividade, o motor calcula a área da base circular como pi vezes o raio ao quadrado, o volume do cilindro envolvente como área da base vezes altura, e o volume do paraboloide como metade desse volume cilíndrico, o mesmo que metade de pi r ao quadrado h.

Os casos-limite são explícitos: um raio ou uma altura negativos são rejeitados com mensagem clara de que a medida deve ser positiva; uma altura zero é recusada porque um sólido de altura nula não é um paraboloide válido sob este contrato; resultados intermediários não finitos após magnitudes extremas também são recusados. Você pode usar qualquer sistema de unidades coerente para raio e altura; área e volume são expressos nas unidades quadradas e cúbicas correspondentes, sem conversão de unidades dentro do motor.