حاسبة الجذور المركبة الدقيقة للمعادلة التربيعية
احصل على جذور مركبة دقيقة لا أعداد عشرية مقربة: مميز x² + x + 1 هو −3، فجذراها −1/2 + (√3/2)i و−1/2 − (√3/2)i، وهما زوج مترافق. مجانًا في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- A
- 1
- B
- 1
- C
- 1
- المعادلة
- 1x^2 + 1x + 1 = 0
- المميِّز
- -3
- نوع الجذر
- complex_conjugate_pair
وبدل تقريب الجواب إلى أعداد عشرية، تحفظ الجزء الحقيقي في صورة كسر مختزل، ومقدار الجزء التخيلي في صورة جذر تربيعي أو كسر مبسط. ويعاد الحلان معًا بوصفهما زوجًا مركبًا مترافقًا دقيقًا في الصورة الديكارتية، مما يفيد في تمارين الجبر ومفاتيح الإجابات واختبارات الحساب الرمزي وكل سير عمل قد يخفي فيه التقريب بنية الحل.
تعرّفوا إلى حالة الجذور المركبة في المعادلة التربيعية
المميز هو b² − 4ac. إذا كان موجبًا نتج جذران حقيقيان مختلفان، وإذا ساوى صفرًا نتج جذر حقيقي مكرر. تختص هذه الحاسبة بالحالة الباقية: أن يكون المميز سالبًا تمامًا.
عندئذ يحتوي جذره التربيعي على i، وهي الوحدة التخيلية المعرفة بالعلاقة i² = −1، ويمكن ترتيب القانون العام في صورة جزء حقيقي يضاف إليه جزء تخيلي أو يطرح منه. ولأن a وb وc أعداد صحيحة حقيقية، فإن تغيير الإشارة وحده ينتج حلين مترافقين. فمثلًا، مميز x² + x + 1 هو −3، وجذراه هما −1/2 + sqrt(3)/2 i و−1/2 − sqrt(3)/2 i.
اقرؤوا النتيجة الدقيقة في الصورة الديكارتية
أدخلوا المعاملات الصحيحة الثلاثة a وb وc وفق الصيغة القياسية. يعرض الرد معادلة مقروءة والمميز السالب. ويحتوي كل عنصر في roots على real وimaginary وrectangular.
يمثل real القيمة المختزلة −b/(2a). أما imaginary فهو معامل i بإشارته، محسوبًا من sqrt(−D)/(2|a|) بعد استخراج العوامل المربعة من الجذر واختزال العوامل المشتركة مع المقام. ويجمع rectangular الجزأين في الصيغة u + vi.
لا يستبدل الجذر بعدد عشري، فتظل الكسور الدورية والجذور غير النسبية دقيقة. وإذا بُسّط الجذر إلى عدد صحيح حذفت صيغة sqrt، وإذا اختزل الكسر إلى عدد صحيح حذف مقامه.
تحققوا من الزوج واستخدموه بأمان
للتحقق السريع، افحصوا التناظر بين المترافقين: يجب أن يكون الجزآن الحقيقيان متساويين والجزآن التخيليان متعاكسين. ويمكنكم أيضًا استعمال صيغ فييتا؛ ينبغي أن يكون مجموع الجذرين −b/a لأن الحدين التخيليين يتلاشيان، وأن يكون حاصل ضربهما c/a. ويمكن كذلك تعويض أي من التعبيرين في ax² + bx + c وتبسيطه حتى يختفي الجزآن الحقيقي والتخيلي.
لا تقبل الأداة المعاملات العشرية، ولا تحلل نص معادلة مكتوبة، ولا تحل حالات الجذور الحقيقية. حوّلوا المعاملات النسبية أولًا إلى أعداد صحيحة مكافئة.
حالات الاستخدام
مراجعة واجب في الجبر
قارنوا زوجًا مترافقًا حُسب يدويًا بأجزاء حقيقية وتخيلية دقيقة قبل تسليم التمرين.
إنشاء مفاتيح إجابة دقيقة
ولّدوا حلولًا متسقة في الصورة الديكارتية دون إدخال تقريب عشري في أوراق العمل أو الاختبارات.
اختبار برمجيات الحساب الرمزي
استخدموا سلاسل الجذور والكسور الحتمية حالات اختبار للبرامج التي تعالج المعادلات التربيعية المركبة.
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن يكون المميز سالبًا؟
هذه القدرة مخصصة للجذور المركبة المترافقة غير الحقيقية. أما المميز الصفري أو الموجب فينتمي إلى حاسبة الجذور الحقيقية.
هل الجذور دقيقة أم تقريب عشري؟
هي دقيقة؛ تختزل الكسور وتبسط الجذور التربيعية من دون تحويلها إلى أعداد عشرية عائمة.
ما المقصود بالصورة الديكارتية؟
تكتب الصورة الديكارتية العدد المركب على هيئة u + vi، فتفصل الجزء الحقيقي u عن المعامل التخيلي v.
لماذا يكون الجذران مترافقين؟
لأن المعادلة التربيعية ذات المعاملات الحقيقية، عندما تملك جذورًا غير حقيقية، تعطي جزءًا حقيقيًا واحدًا وجزأين تخيليين متعاكسين.
كيف أتحقق من الجذرين المركبين؟
استخدم علاقات فييتا: مجموع الجذرين يساوي −b/a وحاصل ضربهما يساوي c/a. في x² + x + 1 مجموع −1/2 ± (√3/2)i هو −1 وحاصل ضربهما 1، كما هو متوقع.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-complex-roots \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"b":1,"c":1}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-complex-roots", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"b": 1,
"c": 1
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-complex-roots",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"b": 1,
"c": 1
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-complex-roots", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"b":1,"c":1}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":1,"c":1}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-complex-roots", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"a": 1,
"b": 1,
"c": 1
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.quadratic_complex_roots",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
تحل هذه الحاسبة المعادلة ax² + bx + c = 0 عندما تنتج المعاملات الصحيحة مميزًا سالبًا.
تعرّفوا إلى حالة الجذور المركبة في المعادلة التربيعية
ابدؤوا من الصيغة القياسية ax² + bx + c = 0، حيث لا يجوز أن يساوي a صفرًا. ترفض الأداة المميز غير السالب كي يظهر الافتراض الخاطئ بوضوح، كما ترفض a = 0 لأن التعبير يصبح معادلة خطية لا تربيعية.
اقرؤوا النتيجة الدقيقة في الصورة الديكارتية
لذلك تعني 3/2 + sqrt(7)/2 i أن u = 3/2 وأن v = sqrt(7)/2؛ ويحافظ الجذر الثاني على الجزء الحقيقي ويعكس إشارة الجزء التخيلي.
تحققوا من الزوج واستخدموه بأمان
تقتصر المدخلات على أعداد صحيحة آمنة لا تتجاوز قيمتها المطلقة مليونًا واحدًا، حفاظًا على دقة المميز وتحليله في المتصفح وفي Worker الخاص بواجهة API. ينفذ المتصفح الدالة النقية نفسها دون شبكة؛ ويبلغ سعر كل عنصر ناجح عبر API مقدار $0.002، بينما تعيد المدخلات غير الصالحة خطأ واضحًا.
أسئلة تقنية
ما تكلفة استدعاء API؟
سعر كل عنصر يحل بنجاح هو $0.002. ويمكن تشغيل الحاسبة الحتمية نفسها محليًا في المتصفح أيضًا.