ForHosting KIT · الرياضيات

حاسبة المتسلسلة التوافقية

اختر عددًا صحيحًا n واحصل على مجموع المتسلسلة التوافقية حتى 1/n: أول 10 حدود مجموعها 2.928968253968. يكبر المجموع بلا حد لكن ببطء، تقريبًا مثل اللوغاريتم الطبيعي للعدد n. مجانية في متصفحك.

مجاني
يعمل في متصفحك
دون تسجيل
بياناتك لا تغادر جهازك

شغّل الأداة مجانًا اطّلع على الـAPI

استخدمها من الويبAPIالبريدTelegramالتطبيق قريبًا

مثال محلول

إذا أدخلت

N: 10

تحصل على

Sum: 2.928968254

المتسلسلة التوافقية هي مجموع لا نهائي لمقلوبات الأعداد الصحيحة الموجبة: واحد زائد نصف زائد ثلث وهكذا. تنمو مجاميعها الجزئية H_n دون حد، لكنها تنمو ببطء يقارب اللوغاريتم الطبيعي للعدد n مضافًا إليه ثابت. لا حلقات في جداول البيانات، ولا مفاجآت في التقريب عند النسخ واللصق، والمنطق النقي نفسه يعمل مجانًا في المتصفح.

ما هو المجموع التوافقي الجزئي في حقيقته

يُعرَّف العدد التوافقي رقم n بأنه H_n يساوي مجموع مقلوب k حيث تمتد k من واحد إلى n. عند n يساوي واحدًا يكون المجموع واحدًا فقط. وعند n يساوي اثنين يكون واحدًا زائد نصف أي واحدًا وخمسة من عشرة.

وعند n يساوي ثلاثة تضيف ثلثًا فتحصل على نحو واحد وثلاثة وثمانمئة وثلاثة وثلاثين من الألف. يستعمل المعلمون هذه القيم الأولى ليبيّنوا أن المتسلسلة متباعدة رغم أن حدودها المتتالية تتقلص نحو الصفر: فكل مقلوب جديد أصغر، ومع ذلك يظل المجموع الجاري يتسلّق صعودًا إلى الأبد. ويلتقي المحللون بالمجاميع الجزئية نفسها حين يحدّون اختبارات المقارنة، أو يقدّرون كلفة الحلقات المتداخلة التي تزور واحدًا زائد اثنين زائد ثلاثة عنصرًا، أو يقاربون توقّع جامع الكوبونات.

ولأن المتسلسلة اللانهائية الحقيقية متباعدة، فإن البرمجيات لا تُرجع مجموعًا نهائيًا للمتسلسلة كلها؛ بل تُرجع دومًا مجموعًا جزئيًا منتهيًا مفهرسًا بالعدد n. ينفّذ هذا الطرف ذلك الكائن الرياضي مباشرة: حلقة نقية من جمع المقلوبات مع حدّ أعلى ثابت على n لتبقى الذاكرة وزمن التشغيل متوقّعين على الحافة. ويبلّغ الرد عن العدد الصحيح n الذي طلبته، ومجموع مقرَّب على نحو ثابت كي تتطابق الاستدعاءات المتكررة بايتًا ببايت، وسلسلة صيغة قصيرة تعيد صياغة H_n بصورة مقروءة للبشر لأجل السجلات والمواد الدرسية.

أين تفيد الأعداد التوافقية

تستعمل الصفوف الدراسية حاسبة المتسلسلة التوافقية كي يستكشف الطلاب معدلات النمو دون كتابة أول حلقة تكرار لهم تحت ضغط الوقت. ويستعمل التحضير لمقابلات البرمجة H_n لمناقشة حدس big-O: فمجموع مقلوب k هو Theta للمقدار log n، وهذا يفسّر لماذا تبدو بعض الخوارزميات المتداخلة خطّية تقريبًا مع أنها ما تزال تتجاوز العوامل الثابتة. وتُضمّن فرق المنتَج والمالية أحيانًا مجاميع توافقية جزئية حين تنمذج تناقص العوائد أو الطرح المرحلي أو العدد المتوقّع للمحاولات حتى بلوغ التغطية في تجارب بسيطة على نمط الكوبونات.

ولا يستهلك التحقق الفاشل رصيدًا. قيِّد n، وأبقِ الطلب صغيرًا، وستحصل على رقم قابل للاستنساخ يمكنك تثبيته في الاختبارات والدفاتر وعمّال الحافة دون إقامة مكتبة رياضيات خاصة بك.

حالات الاستخدام

عروض الأعداد التوافقية في الصف

دع الطلاب يطلبون H_n لقيم n متزايدة ويلاحظون النمو اللوغاريتمي البطيء دون كتابة حلقة الجمع بأنفسهم.

إيضاحات تعقيد الخوارزميات

بيّن أن جمع مقلوب k يوازي log n عند شرح الحلقات المتداخلة أو رسوم جامع الكوبونات أو الحدود التوافقية في مذكرات التحليل.

تجهيزات حتمية في خطوط معالجة البيانات

ثبّت H_n في اختبارات التكامل أو الدفاتر حين يحتاج نموذج أو محاكاة إلى مجموع توافقي جزئي مستقر كثابت مرجعي.

الأسئلة الشائعة

ماذا يحدث إذا كانت n أقل من 1؟

فالأعداد التوافقية معرَّفة للأعداد الصحيحة الموجبة فقط، لذا تُرفض القيم الصفرية والسالبة دون رسوم.

ما مدى دقة المجموع المُعاد؟

تُجمع المقلوبات بترتيب مستقر ويُقرَّب الناتج إلى اثنتي عشرة منزلة عشرية لأجل قابلية الاستنساخ عبر بيئات التشغيل. وهو ليس كسرًا نسبيًا دقيقًا.

هل هناك حد أقصى للعدد n؟

نعم. يجب ألا تتجاوز n مليونًا كي يبقى زمن تشغيل الحافة محدودًا.

لماذا تتباعد المتسلسلة التوافقية مع أن حدودها تصغر؟

كل حد جديد أصغر من سابقه، لكن المجموع يواصل الصعود بلا نهاية، تقريبًا مثل اللوغاريتم الطبيعي للعدد n مضافًا إليه ثابت. لذلك تحصل دائمًا على مجموع جزئي لعدد n تختاره، لا على مجموع المتسلسلة كلها.

هل يمكنني الحصول على المجموع في صورة كسر دقيق؟

لا. النتيجة قيمة عشرية مقرّبة كي تبقى هي نفسها في كل مرة، مثل 2.928968253968 لأول 10 حدود. وإذا احتاج برهان إلى الكسر الدقيق المختزل فيجب حسابه على حدة.

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.

الـEndpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/math/harmonic-series

صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.

استدعِ الخدمة من بيئتك

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/harmonic-series \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"n":10}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/harmonic-series", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "n": 10
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/math/harmonic-series",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "n": 10
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/harmonic-series", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"n":10}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"n":10}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/harmonic-series", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

مثال على الطلب

{
  "n": 10
}

مثال على الاستجابة

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "math.harmonic_series",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.

الأسعار

لكل طلب$0.002

السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.

الأخطاء

HTTP	الرمز	المعنى
`401`	`unauthorized`	مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك.
`402`	`insufficient_balance`	رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة.
`404`	`unknown_type`	نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب.
`429`	`rate_limited`	تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة.

ملاحظات تقنية

تحوّل هذه الحاسبة ذلك التعريف الكلاسيكي إلى استدعاء API حتمي واحد: أرسل عددًا صحيحًا موجبًا n لتتلقى القيمة العشرية الدقيقة للمجموع الجزئي رقم n، مع صيغة واضحة تسمح للطلاب والمهندسين وخطوط معالجة البيانات بالتحقق من الطلب دون إعادة اشتقاق المتسلسلة.

عقد الإدخال والتقريب وسلوك الأخطاء

يتحقق المعالج من أن n موجود ومنتهٍ وعدد صحيح وداخل ذلك المجال قبل أن يبدأ أي جمع. عند النجاح يحوي المتن n وsum وformula. وإن احتجت كسورًا رمزية دقيقة كبسط مختزل على مقام، فهذه القدرة ليست نظام جبر حاسوبي؛ إنها تُرجع مجموعًا جزئيًا عشريًا فقط. أرسل عبر POST متن JSON يحوي حقلًا واحدًا مطلوبًا هو n: عدد صحيح أكبر من أو يساوي واحدًا وأصغر من أو يساوي مليونًا. أما القيم دون واحد، وغير الصحيحة، والحقول المفقودة، وقيم n فوق الحد الأقصى المنشور فتفشل بالرمز invalid_input ولا تُحاسَب، ما يبقي الطلبات الخاطئة خارج عدّاد استخدامك. واثنا عشر رقمًا أكثر من كافٍ للفحوص الصفّية ولأكثر التقديرات الهندسية، مع بقائه رقم JSON نظيفًا. اقرنها بشفرتك الكسرية الدقيقة حين تتطلب البراهين كسورًا، واستعمل واجهة API هذه حين تحتاج قيمة H_n عددية سريعة قابلة للتدقيق في خطوط المعالجة أو أوراق العمل أو عروض المقابلات.

أسئلة تقنية

ما هو المجموع الجزئي رقم n للمتسلسلة التوافقية؟

هو H_n = 1 + 1/2 + … + 1/n. تُرجع واجهة API هذه ذلك المجموع العشري لعدد صحيح موجب n تزوّده به.

كم تكلّف حاسبة المتسلسلة التوافقية؟

أداة المتصفح مجانية. أما طلبات API فتستعمل رصيد KIT المدفوع مسبقًا بمقدار $0.002 لكل استدعاء ناجح؛ والإدخال غير الصالح لا يُحاسَب.

اطّلع على توثيق KIT الكامل ←

شغّل الأداة مجانًا