حاسبة الإسقاط الاتجاهي
إسقاط (3, 4) على (1, 0) يعطي إسقاطًا قياسيًا قدره 3، والمتجه (3, 0)، وباقيًا عموديًا (0, 4). استخدمه لتحليل قوة على امتداد كابل أو للتحقق من باقٍ. مجانًا في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- النص الأول
- 3, 4
- النص الثاني
- 1, 0
- الإسقاط القياسي
- 3
- الإسقاط الاتجاهي
- 3, 0
- المتعامد
- 0, 4
- الجداء النقطي
- 3
يجيب الإسقاط الاتجاهي عن سؤال أساسي في الجبر الخطي: كم من متجه يشير على طول متجه آخر، وما المتجه الذي يمثل ذلك الجزء الموازي؟ بافتراض متجه مصدر a وهدف b غير صفري، يكون الإسقاط القياسي هو الطول الموقع لـ a على الاتجاه الوحدوي لـ b، ويكون الإسقاط الاتجاهي هو المضاعف الوحيد لـ b الأقرب إلى a بالمسافة الإقليدية. يظهر هذان العددان وذلك المتجه الموازي في مسائل الشغل والقوة، وأطوال الظلال، وبواقي المربعات الصغرى، وإضاءة الرسوميات، وفي كل مقرر يبني قواعد متعامدة معيرة.
معنى الإسقاط القياسي والاتجاهي
ثبّت متجه هدف b غير صفري في R مرفوعًا إلى n. المتجه الوحدوي في اتجاه b هو b مقسومًا على معياره الإقليدي. الإسقاط القياسي لـ a على b هو الجداء النقطي العادي لـ a مع ذلك المتجه الوحدوي: موجب عندما يشكل a و b زاوية حادة، وسالب عندما تكون الزاوية منفرجة، وصفر عندما يكونان متعامدين.
يضرب الإسقاط الاتجاهي ذلك الطول الموقع في الاتجاه الوحدوي، أو يعادل ضرب b في نسبة a نقطة b إلى b نقطة b. النتيجة دائمًا على الخط المولَّد بـ b وهي أقرب نقطة على ذلك الخط إلى a. الفرق a ناقص متجه الإسقاط متعامد مع b؛ ذلك الباقي هو جزء a الذي لا يُفسَّر بمضاعف للهدف.
تثبت هذه المتطابقات في كل بعد أكبر من أو يساوي واحدًا، ما دام المتجهان يشتركان في عدد المكونات نفسه و b ليس المتجه الصفري. إذا كان b صفرًا فالقسمة على المعيار غير معرّفة، لذا ترفض هذه الحاسبة الطلب بدل إصدار NaN. أمثلة الصف غالبًا أزواج ثنائية البعد مثل a يساوي ثلاثة أربعة و b يساوي واحد صفر، حيث يسقط الإسقاط نظيفًا على المحور الأول؛ تنطبق الصيغ نفسها دون تغيير على قوى ثلاثية البعد أو متجهات سمات أعلى بعدًا.
فهم القياسي الموقع أولًا يجعل صيغة المتجه آلية: قسّم الاتجاه الوحدوي بذلك القياسي، أو قسّم b بنسبة الجداءين.
الاستخدام العملي والتسعير والحدود والتسليم
استخدم أداة المتصفح عندما تريد إسقاطًا قياسيًا واتجاهيًا فوريًا أثناء مراجعة الواجبات أو إعداد شريحة محاضرة أو تحليل قوة على طول كابل أو تصحيح باقٍ يفترض أن يكون متعامدًا مع اتجاه تصميم. لا يوجد نموذج لغوي ولا خدمة جبر خطي خارجية ولا عشوائية، لذا القدرة آمنة للتثبيت في فحوصات التكامل المستمر ومواد الدرس القابلة لإعادة الإنتاج. النتائج حتمية بالكامل: نفس a و b ينتجان دائمًا نفس القياسي والمتجه والباقي.
فضّل هذه الأداة عندما تكون القصة الهندسية إسقاطًا على اتجاه واحد؛ للفضاءات الجزئية متعددة المتجهات أو المربعات الصغرى على امتداد أعمدة مصفوفة أو الجداءات الاتجاهية استخدم قدرة أخرى. أبقِ المكونات ضمن مقادير عائمة عادية حتى لا يكون الفيضان الوسيط مصدر قلق؛ لأعداد الصف الصحيحة ومقاييس الهندسة المعتادة يكون الحل دقيقًا ضمن الدقة المضاعفة. مدخلات ومخرجات المصدر تتبع قواعد الاحتفاظ نفسها لعناصر parse الأخرى في KIT، ولا تُفوتر مهمة فاشلة بعد التحقق.
حالات الاستخدام
التحقق من الواجبات والتدريس
يؤكد الطلاب والمصححون الإسقاطات القياسية والاتجاهية لأزواج متساوية الطول، مع إخفاقات واضحة عندما يكون متجه الهدف صفرًا أو تختلف الأبعاد، دون تثبيت CAS محلي.
فحوصات مكونات القوة والشغل
سكربتات المختبر التي تحلل قوة على طول كابل أو تحسب قطعًا موازية متعلقة بالشغل تستدعي أوراكل إسقاط حتمي بدل إعادة تنفيذ المعيار وفحوصات الصفر في كل لغة.
الأسئلة الشائعة
ماذا يحدث إذا كان متجه الهدف هو المتجه الصفري؟
الإسقاط غير معرّف عندما يكون طول متجه onto صفرًا.
هل يسقط على مستوٍ أو فضاء جزئي متعدد المتجهات؟
لا. هذه القدرة تسقط على اتجاه واحد b غير صفري. إسقاطات الفضاءات الجزئية متعددة المتجهات تحتاج قدرة أو مكتبة أخرى.
كيف أُسقط (3, 4) على (1, 0)؟
اقسم الضرب القياسي للمتجهين على طول متجه الهدف، فتحصل هنا على إسقاط قياسي قدره 3. اضربه في اتجاه الهدف لتحصل على المتجه (3, 0)، ويبقى (0, 4) عموديًا عليه.
ماذا لو اختلف طول المتجهين a وb؟
ترفض الحاسبة الحساب، لأن الضرب القياسي يتطلب العدد نفسه من المركبات في المتجهين. أدخل متجهين لهما البُعد نفسه.
ماذا يعني إسقاط قياسي سالب؟
يعني أن الزاوية بين المتجهين منفرجة، فجزء a يتجه عكس b. يكون الإسقاط موجبًا عندما تكون الزاوية حادة، وصفرًا عندما يكون المتجهان متعامدين.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/vector-projection \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":[3,4],"b":[1,0]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/vector-projection", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": [
3,
4
],
"b": [
1,
0
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/vector-projection",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": [
3,
4
],
"b": [
1,
0
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/vector-projection", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":[3,4],"b":[1,0]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":[3,4],"b":[1,0]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/vector-projection", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"a": [
3,
4
],
"b": [
1,
0
]
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.vector_projection",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
تأخذ هذه القدرة متجهين عدديين متساويي الطول، وترفض متجه هدف صفريًا وأبعادًا غير متطابقة بـ invalid_input، وتعيد الإسقاط القياسي ومتجه الإسقاط والباقي المتعامد والجداء النقطي الخام ومعيار الهدف.
كيفية استدعاء الحاسبة وقراءة الاستجابة
كل منهما مصفوفة غير فارغة من أعداد منتهية متساوية الطول. عندما يُفسَّر b بنجاح لكن كل مكون صفر، يفشل الطلب أيضًا برسالة واضحة بأن متجه الهدف هو المتجه الصفري وأن الإسقاط غير معرّف. يُنظَّف غبار الفاصلة العائمة شبه الصفري لتبقى goldens والعروض مستقرة بينما تحتفظ الأعداد الحقيقية غير الصحيحة العادية بدقة مضاعفة كاملة. أرسل جسم JSON بالحقلين الإلزاميين a و b. يجوز استخدام الأسماء البديلة vector أو u أو source لـ a، و onto أو v أو target لـ b؛ تُقبل أيضًا سلاسل JSON لنفس المصفوفات عندما يسلسل العميل بيانات متداخلة كنص. يرفض المحرك الحقول الناقصة والمصفوفات الفارغة والمكونات غير العددية وخلايا Infinity أو NaN والأطوال غير المتساوية بـ invalid_input، ولا تُحتسب تلك الإخفاقات. عند النجاح تتضمن الاستجابة scalar_projection (طول موقع على وحدوي b) و vector_projection (المكون الموازي كمصفوفة) و orthogonal (a ناقص ذلك الإسقاط) و dot (a·b) و onto_norm (الطول الإقليدي لـ b) و dimension وحقول صدى a و b بالمتجهات العددية المفسَّرة. اربط نقطة النهاية بسكربتات تتحدث JSON أصلًا وتحتاج عقدًا مستقرًا بدل إعادة تنفيذ فحوصات الصفر وقواعد البعد في كل لغة.
الاستخدام العملي والتسعير والحدود والتسليم
استخدم API عندما تحتاج منصة تدريس أو بيئة مقابلة برمجة أو دفتر مختبر فيزياء أو مساعد رسوميات أو أنبوب طرق عددية إلى JSON مستقر لأزواج متجهات كثيرة تحت عقد واحد. كل طلب ناجح عنصر قابل للفوترة بسعر $0.002؛ إخفاقات التحقق واختلافات البعد ورفض الهدف الصفري لا تستهلك الرصيد.
حالات التكامل
أنابيب الباقي والرسوميات
أدوات الرسوميات والعددية التي تقسم متجهًا إلى أجزاء موازية وعمودية مقابل اتجاه ضوء أو رؤية تحصل على JSON مستقر للإسقاط والباقي المتعامد.
أسئلة تقنية
كيف أسقط المتجه a على المتجه b بهذه API؟
أرسل JSON مع a و b كمصفوفات أعداد منتهية متساوية الطول. تعيد الاستجابة scalar_projection و vector_projection والباقي orthogonal و dot و onto_norm و dimension.
ماذا لو اختلف طولا a و b؟
يفشل الطلب بـ invalid_input يذكر الطولين. الإسقاط يتطلب بعدًا متساويًا؛ لا حشو صامت.
هل حاسبة الإسقاط الاتجاهي مجانية؟
أداة المتصفح تعمل مجانًا على جهازكم. استدعاءات API تستخدم رصيد KIT المدفوع مسبقًا بسعر $0.002 لكل عنصر ناجح؛ إخفاقات التحقق والهدف الصفري لا تُفوتر.