حل المتباينات التكعيبية: الجذور والإشارات والفترات
تتحقق x³ − 2x² − 5x + 6 ≥ 0 على [−2, 1] ∪ [3, ∞): أدخل المعاملات الأربعة والمقارنة لترى الجذور الحقيقية والإشارة على كل فترة ومجموعة الحل. مجانًا في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- A
- 1
- B
- -2
- C
- -5
- D
- 6
- المعامل
- >=
- الجذور الحقيقية
- -2, 1, 3
- فترات الحل
- [-2, 1], [3, ∞)
- مجموعة الحل
- [-2, 1] ∪ [3, ∞)
تحدّد هذه الحاسبة المواضع التي تكون فيها كثيرة الحدود من الدرجة الثالثة موجبة أو سالبة أو غير سالبة أو غير موجبة. أدخلوا معاملات ax³ + bx² + cx + d واختاروا المقارنة مع الصفر. تعرض النتيجة الجذور الحقيقية المختلفة، وإشارة كثيرة الحدود في كل فترة تفصلها تلك الجذور، ومجموعة الحل الكاملة بترميز الفترات. وتعالج الدوال التكعيبية ذات جذر حقيقي مختلف واحد أو جذرين أو ثلاثة من دون رسوم بيانية أو تخمينات عشوائية أو خدمة خارجية.
أدخلوا كثيرة الحدود التكعيبية بالصورة القياسية
أعيدوا كتابة المتباينة بحيث يكون أحد الطرفين صفراً ويأخذ الطرف الآخر الصورة ax³ + bx² + cx + d. ثم أدخلوا كل معامل حقيقي، بما في ذلك الصفر لأي حد غير موجود. لا يجوز أن يكون المعامل الرئيس a صفراً، لأن التعبير سيصبح عندئذ تربيعياً أو من درجة أدنى.
اختاروا < أو > عندما يجب استبعاد الجذور، واختاروا <= أو >= عندما تكون المساواة عند جذر حقيقي جزءاً من الإجابة. من المهم إبقاء المقارنة مع الصفر: إذا لم يكن الطرف الأيمن الأصلي صفراً، فاطرحوه أولاً من الطرفين واجمعوا الحدود المتشابهة. ينتج عن ذلك المعاملات الدقيقة التي تحتاج إليها الحاسبة، ويمنع خطأ الإشارة الناتج عن نقل جزء واحد فقط من التعبير.
تُقبل المعاملات العشرية إذا كانت محدودة وضمن الحد المنشور للمعاملات.
اقرؤوا الجذور وجدول الإشارات
لا يمكن لكثيرة حدود متصلة أن تغيّر إشارتها إلا حيث تساوي صفراً، ولذلك تقسّم جذورها الحقيقية خط الأعداد إلى فترات. تستخرج الحاسبة جميع الجذور الحقيقية المختلفة باستعمال الصورة التكعيبية المخفّضة من طريقة Cardano، وترتّبها، ثم تختار قيمة اختبار تقع داخل كل فترة ناتجة حصراً. وتقيّم كثيرة الحدود الأصلية عند قيمة الاختبار وتصف الفترة كلها بأنها موجبة أو سالبة.
وهذه هي طريقة جدول الإشارات نفسها المعروفة في الجبر، لكنها معروضة بوضوح كي تتمكنوا من تدقيق النتيجة بدلاً من تلقي اتحاد نهائي فقط. يظهر الجذر المكرر مرة واحدة في القائمة لأنه ينشئ حداً واحداً على خط الأعداد. يبيّن الجدول هذا السلوك مباشرة.
وتُطبّع الجذور إلى قيم عشرية مستقرة، فتظل الجذور الصحيحة البسيطة سهلة التمييز، بينما تحصل الجذور غير النسبية على تقريب حتمي مفيد.
فسّروا ترميز الفترات
فترات الحل هي بالضبط مناطق الجدول التي تحقق إشارتها المقارنة المختارة. يدل القوس المستدير على استبعاد الطرف، بينما يدل القوس المربع على إدراج جذر حقيقي منتهٍ لأن المعامل يسمح بالمساواة. ويُكتب ما لا نهاية دائماً مع قوس مستدير لأنه اتجاه وليس طرفاً يمكن بلوغه.
عندما تحقق عدة مناطق منفصلة الشرط، تصل بينها الحاسبة برمز الاتحاد. ويعني رمز المجموعة الخالية أنه لا يوجد عدد حقيقي يحقق المقارنة. الطريقة حتمية ولا تقيّم سوى المعاملات المقدمة، لذلك تناسب التمارين المحلولة ومفاتيح الإجابة الآلية والتحقق ضمن سير عمل جبري أوسع.
وكما في كل حساب تكعيبي عددي، تكون الجذور غير النسبية تقريبية؛ استخدموا جدول الإشارات المصاحب بدلاً من اعتبار الجذر المدوّر تعبيراً جذرياً رمزياً دقيقاً.
حالات الاستخدام
مراجعة واجبات الجبر
قارنوا جدول جذور واتحاد فترات أُعدّا يدوياً بجدول إشارات حتمي وقابل لإعادة الإنتاج.
إنشاء مفاتيح الإجابات
أنشئوا حدوداً متسقة للجذور الحقيقية وفترات الحل للتمارين المحددة بالمعاملات.
التحقق من قيود النماذج
حدّدوا أين تبقى استجابة تكعيبية أو أرباح أو كثيرة حدود معايرة فوق الصفر أو تحته.
الأسئلة الشائعة
هل يمكن أن يكون المعامل الرئيس صفراً؟
لا. فالمعامل الرئيس الصفري لا يعرّف متباينة تكعيبية، ولذلك يُرفض بوصفه إدخالاً غير صالح.
هل تُدرج الجذور المكررة؟
نعم. يظهر كل جذر حقيقي مختلف مرة واحدة، وتوضح إشارتا الفترتين المجاورتين ما إذا كانت كثيرة الحدود تقطع المحور عنده.
لماذا تظهر بعض الجذور بأعداد عشرية؟
كثير من جذور المعادلات التكعيبية غير نسبي. تعيد الحاسبة تقريبات عددية مستقرة بدلاً من تعبيرات جذرية رمزية.
متى تُدرج الجذور في الإجابة؟
تُدرج الجذور المنتهية مع <= و>= لأن كثيرة الحدود تساوي صفراً عندها، وتُستبعد مع < و>.
ماذا لو لم يكن الطرف الأيمن من المتباينة صفرًا؟
اطرحه أولًا من الطرفين واجمع الحدود المتشابهة، حتى تقارن المتباينة كثير حدود تكعيبيًا واحدًا بالصفر. ونقل جزء من العبارة فقط سبب شائع لأخطاء الإشارة.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/cubic-inequality \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"b":-2,"c":-5,"d":6,"operator":">="}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/cubic-inequality", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"b": -2,
"c": -5,
"d": 6,
"operator": ">="
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/cubic-inequality",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"b": -2,
"c": -5,
"d": 6,
"operator": ">="
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/cubic-inequality", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"b":-2,"c":-5,"d":6,"operator":">="}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":-2,"c":-5,"d":6,"operator":">="}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/cubic-inequality", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"a": 1,
"b": -2,
"c": -5,
"d": 6,
"operator": ">="
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.cubic_inequality",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الحدود
max_abs_coefficient | 1000000000000 |
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
أدخلوا كثيرة الحدود التكعيبية بالصورة القياسية
على سبيل المثال، تُدخل المتباينة x³ - 2x² - 5x + 6 >= 0 بالقيم a = 1 وb = -2 وc = -5 وd = 6 وبالمعامل >=.
فسّروا ترميز الفترات
عند معالجة النتيجة برمجياً، راجعوا المصفوفة `solution_intervals`؛ فهي تعرض كل مكوّن على حدة، في حين يقدم `solution_set` الترميز المألوف المقروء.
أسئلة تقنية
ما تكلفة الطلب الواحد؟
تبلغ تكلفة طلب API واحد $0.002؛ ويمكن تشغيل إصدار المتصفح محلياً من دون اتصال بالشبكة.