Inequação cúbica: raízes, sinais e intervalos
x³ − 2x² − 5x + 6 ≥ 0 vale em [−2, 1] ∪ [3, ∞): informe os quatro coeficientes e a comparação e veja as raízes reais, o sinal em cada intervalo e o conjunto solução. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- A
- 1
- B
- -2
- C
- -5
- D
- 6
- Operador
- >=
- Raízes reais
- -2, 1, 3
- Intervalos da solução
- [-2, 1], [3, ∞)
- Conjunto solução
- [-2, 1] ∪ [3, ∞)
Este resolvedor identifica onde um polinômio de terceiro grau é positivo, negativo, não negativo ou não positivo. Informe os coeficientes de ax³ + bx² + cx + d e escolha uma comparação com zero. O resultado apresenta as raízes reais distintas, mostra o sinal em cada intervalo delimitado por elas e retorna o conjunto solução completo em notação de intervalos. A ferramenta trata cúbicas com uma, duas ou três raízes reais distintas sem depender de gráficos, tentativas aleatórias ou serviços externos.
Informe a cúbica na forma padrão
Reescreva a inequação para que um lado seja zero e o outro esteja na forma ax³ + bx² + cx + d. Depois, informe cada coeficiente real, inclusive zero para qualquer termo ausente. O coeficiente líder a não pode ser zero, pois isso tornaria a expressão quadrática ou de grau menor.
Escolha < ou > quando as raízes precisarem ser excluídas, e <= ou >= quando a igualdade em uma raiz real fizer parte da resposta. Manter a comparação com zero é essencial: se o lado direito original não for zero, primeiro subtraia-o dos dois lados e reúna os termos semelhantes. Assim, você obtém os coeficientes exatos exigidos pelo resolvedor e evita um erro de sinal causado pela transferência parcial de uma expressão.
Coeficientes decimais são aceitos quando finitos e dentro do limite publicado.
Leia as raízes e o quadro de sinais
Um polinômio contínuo só pode mudar de sinal onde é igual a zero; portanto, suas raízes reais dividem a reta numérica em intervalos. O resolvedor encontra todas as raízes reais distintas pela forma cúbica deprimida do método de Cardano, coloca-as em ordem e escolhe um valor de teste estritamente interno a cada intervalo resultante. Em seguida, avalia o polinômio original nesse valor e classifica todo o intervalo como positivo ou negativo.
É o mesmo método de quadro de sinais ensinado em álgebra, exposto para que você possa conferir a conclusão em vez de receber apenas uma união final. Uma raiz repetida aparece uma única vez, pois cria apenas uma fronteira na reta. Se a multiplicidade for par, os sinais dos intervalos vizinhos permanecem iguais; se for ímpar, eles se invertem.
O quadro exibe esse comportamento diretamente. As raízes são normalizadas em decimais estáveis, mantendo raízes inteiras simples reconhecíveis e fornecendo aproximações determinísticas úteis para raízes irracionais.
Interprete a notação de intervalos
Os intervalos da solução são exatamente as regiões do quadro cujo sinal atende à comparação escolhida. Parênteses indicam que uma extremidade foi excluída, enquanto colchetes indicam que uma raiz finita foi incluída porque o operador permite igualdade. O infinito sempre usa parêntese, pois representa uma direção, não uma extremidade atingível.
Quando várias regiões separadas funcionam, o resolvedor as conecta com o símbolo de união. O símbolo de conjunto vazio significa que nenhum número real satisfaz a comparação. O método é determinístico e avalia somente os coeficientes fornecidos, sendo apropriado para exercícios resolvidos, gabaritos automatizados e validações em um fluxo algébrico maior.
Como em qualquer cálculo cúbico numérico, raízes irracionais são aproximadas; use o quadro de sinais correspondente, sem tratar uma raiz arredondada como expressão radical simbólica exata.
Casos de uso
Conferir exercícios de álgebra
Compare uma tabela manual de raízes e uma união de intervalos com um quadro de sinais determinístico.
Montar gabaritos
Gere limites coerentes de raízes reais e intervalos de solução para exercícios baseados em coeficientes.
Validar restrições de modelos
Descubra onde uma resposta cúbica, um lucro ou um polinômio de calibração permanece acima ou abaixo de zero.
Perguntas frequentes
O coeficiente líder pode ser zero?
Não. Um coeficiente líder igual a zero não define uma inequação cúbica e é rejeitado como entrada inválida.
As raízes repetidas são incluídas?
Sim. Cada raiz real distinta aparece uma vez, e os sinais nos intervalos adjacentes mostram se o polinômio cruza o eixo nesse ponto.
Por que algumas raízes são decimais?
Muitas raízes cúbicas são irracionais. O resolvedor retorna aproximações numéricas estáveis em vez de expressões radicais simbólicas.
Quando as raízes entram na resposta?
Raízes finitas são incluídas com <= e >= porque o polinômio é zero nelas; são excluídas com < e >.
E se o lado direito da minha inequação não for zero?
Subtraia esse valor dos dois lados primeiro e junte os termos semelhantes, para que a inequação compare um único polinômio cúbico com zero. Passar só parte da expressão é uma causa comum de erros de sinal.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/cubic-inequality \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"b":-2,"c":-5,"d":6,"operator":">="}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/cubic-inequality", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"b": -2,
"c": -5,
"d": 6,
"operator": ">="
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/cubic-inequality",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"b": -2,
"c": -5,
"d": 6,
"operator": ">="
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/cubic-inequality", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"b":-2,"c":-5,"d":6,"operator":">="}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":-2,"c":-5,"d":6,"operator":">="}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/cubic-inequality", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"a": 1,
"b": -2,
"c": -5,
"d": 6,
"operator": ">="
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.cubic_inequality",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Limites
max_abs_coefficient | 1000000000000 |
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Informe a cúbica na forma padrão
Por exemplo, x³ - 2x² - 5x + 6 >= 0 deve ser inserida com a = 1, b = -2, c = -5, d = 6 e operador >=.
Interprete a notação de intervalos
Ao consumir o resultado em código, consulte o array `solution_intervals`, que fornece cada componente separadamente; `solution_set` apresenta a notação habitual para leitura humana.
Perguntas técnicas
Quanto custa uma solicitação?
Uma solicitação de API custa US$ 0,002; a versão no navegador pode ser executada localmente sem chamada de rede.