Permutation ohne Wiederholung
Drei von fünf Elementen auszuwählen und zu ordnen ergibt 60 verschiedene Reihenfolgen, den Wert von P(5,3). Geben Sie an, wie viele verschiedene Elemente Sie haben und wie viele Plätze zu besetzen sind, und Sie erhalten die exakte Anzahl. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- N
- 5
- Widerstand (Ω)
- 3
- Anzahl
- 60
- Notation
- P(5,3)
Wenn Personen aufgestellt, rangierte Preise vergeben oder ein Passwort aus eindeutigen Zeichen gewählt wird, zählt die Reihenfolge und kein Element darf wiederverwendet werden. Diese Situation ist eine Permutation ohne Wiederholung: die Anzahl der Möglichkeiten, r verschiedene Elemente aus n verfügbaren anzuordnen. Die geschlossene Zählung ist die Fakultät von n geteilt durch die Fakultät von n minus r, oft als P(n,r) oder nPr geschrieben. Dieser Rechner wertet jene exakte ganze Zahl für nichtnegative ganze Zahlen n und r aus. Wenn r n überschreitet oder eine Eingabe keine nichtnegative ganze Zahl ist, scheitert die Anfrage mit einem klaren Validierungsfehler.
Was eine Permutation ohne Wiederholung zählt
Eine Permutation ohne Wiederholung ist eine geordnete Folge der Länge r aus n verschiedenen Elementen, in der jedes Element höchstens einmal erscheinen darf. Die Reihenfolge gehört zur Identität des Ergebnisses: ABC und ACB sind zwei unterschiedliche Anordnungen, obwohl sie dieselben drei Buchstaben verwenden. Die klassische geschlossene Form lautet P(n,r) gleich der Fakultät von n geteilt durch die Fakultät von n minus r; sie entwickelt sich zum absteigenden Produkt n mal (n minus eins) mal jeder nächstkleineren ganzen Zahl bis (n minus r plus eins).
Unterrichtsgeschichten, die zu diesem Modell passen, sind die Wahl von Präsident, Vizepräsident und Schriftführer aus einem Verein mit n Mitgliedern, das Aufstellen von r Platzierten aus einem Feld von n Athleten, die Vergabe von erstem, zweitem und drittem Preis, wenn diese Ränge verschieden sind, oder das Füllen von r eindeutigen Passwortpositionen aus einem Alphabet von n unbenutzten Symbolen. Wenn r gleich n ist, ist das Produkt die volle Fakultät n!, weil jedes Element in jeder vollständigen Anordnung genau einmal erscheint.
Wenn r gleich null ist, ist das Produkt leer und die Zählung ist nach Konvention eins, passend zur einzigen leeren Folge. Kombinationen C(n,r) beantworten eine andere Frage: Sie ignorieren die Reihenfolge und teilen P(n,r) durch r!. Permutationen mit Wiederholung beantworten eine dritte: Sie erlauben Wiederverwendung und wachsen wie n hoch r.
Wenn Ihr Problem Wiederverwendung verbietet und die Sequenz als bedeutsam behandelt, brauchen Sie die Zählung ohne Wiederholung, die dieses Werkzeug liefert, nicht jene beiden Nachbarn.
Wo die Zählung ohne Wiederholung genutzt, bepreist und geliefert wird
Nutzen Sie das Browser-Werkzeug, wenn Sie sofort ein exaktes P(n,r) beim Lernen diskreter Mathematik, beim Prüfen einer Wettbewerbsantwort oder beim Erklären von Stichproben ohne Zurücklegen ohne Computeralgebrasystem möchten. Akzeptierte Indizes laufen von null bis zehntausend, sodass Klassendemonstrationen und kombinatorische Filter machbar bleiben ohne unbegrenztes Speicherwachstum bei pathologischen Produkten. Die Ergebnisse sind vollständig deterministisch: dieselben n und r liefern stets dieselben Felder für Anzahl, Notation und Formel.
Es gibt kein Sprachmodell, keinen externen Arithmetikdienst und keine Zufälligkeit, sodass die Fähigkeit sicher in Continuous-Integration-Prüfungen und reproduzierbaren Unterrichtsmaterialien verankert werden kann. Binden Sie den Endpunkt in Kombinatorik-Demos, Coding-Interview-Sandkästen, Wahrscheinlichkeitstutorials mit Stichprobenraumgrößen für geordnete Ziehungen ohne Zurücklegen, Sitzplan-Planer, Generatoren rangierter Preise oder ganzzahlige Vorverarbeitungsschritte ein, wo Sie exakte Permutationsarithmetik bereits heuristischen Näherungen oder undurchsichtigen Drittanbieter-Widgets vorziehen, die weder die Produktstruktur noch die Domänenbeschränkung zeigen, wenn r n überschreitet.
Anwendungsfälle
Hausaufgaben- und Wettbewerbsprüfung
Lernende und Bewertende bestätigen P(n,r) bei geordneten Stichproben ohne Zurücklegen, einschließlich der Ränder P(n,0)=1 und P(n,n)=n!.
Stichprobenraumgröße ohne Zurücklegen
Wahrscheinlichkeitsskripte, die geordnete Ziehungen ohne Wiederverwendung modellieren, können ein deterministisches nPr-Orakel aufrufen, statt BigInt-Produkte in jeder Sprache neu zu implementieren.
Reihenfolge versus Wiederverwendung unterrichten
Unterrichtsseiten, die Permutationen ohne Wiederholung mit n^r (mit Wiederholung) und mit Kombinationen kontrastieren, können das exakte absteigende Produkt neben der Domänenregel r ≤ n zeigen.
Häufige Fragen
Wie zähle ich Permutationen ohne Wiederholung?
Senden Sie die ganzzahligen Felder n und r. Die Antwort liefert count = n! /(n−r)!, plus eine Notation wie P(5,3) und die Zeichenkette der Fakultätsformel.
Wie lautet die Formel einer Permutation ohne Wiederholung?
P(n,r) ist die Fakultät von n geteilt durch die Fakultät von (n−r), also das absteigende Produkt n×(n−1)×…×(n−r+1). Die Reihenfolge zählt und kein Element wird wiederverwendet.
Was geschieht, wenn r größer als n ist?
Eine Permutation ohne Wiederholung ist undefiniert, wenn r n überschreitet, weil man nicht mehr verschiedene Elemente auswählen kann, als existieren.
Worin unterscheidet sich das von Permutationen mit Wiederholung?
Ohne Wiederholung darf jedes Element höchstens einmal verwendet werden, daher ist die Zählung n! /(n−r)! und r darf n nicht überschreiten. Mit Wiederholung dürfen Elemente wiederverwendet werden und die Zählung ist n^r.
Was ergibt sich, wenn r gleich n oder gleich null ist?
Bei r gleich n erhalten Sie die volle Fakultät von n, weil jedes Element in jeder vollständigen Anordnung genau einmal vorkommt. Bei r gleich null ist das Ergebnis 1, denn es gibt genau eine leere Folge.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/stat/permutation-without-repetition \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":5,"r":3}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/stat/permutation-without-repetition", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 5,
"r": 3
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/stat/permutation-without-repetition",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 5,
"r": 3
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/stat/permutation-without-repetition", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":5,"r":3}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":5,"r":3}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/stat/permutation-without-repetition", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"n": 5,
"r": 3
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "stat.permutation_without_repetition",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Limits
max_n | 10000 |
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Wie der Rechner n! / (n − r)! auswertet und n sowie r prüft
Die Engine prüft, dass beide Werte als endliche nichtnegative ganze Zahlen höchstens bis zur veröffentlichten Obergrenze von zehntausend vorliegen. Für akzeptierte Paare multipliziert die Implementierung BigInt-Faktoren von n abwärts in genau r Schritten, was genau der Fakultät von n über der Fakultät von n minus r entspricht, ohne jemals zwei volle Fakultäten zu materialisieren und zu dividieren. Die Antwort gibt außerdem n und r, eine Notationszeichenkette wie P offen fünf Komma drei zu und eine Formelzeichenkette in Fakultätsform für dasselbe Paar zurück. Randfälle sind explizit: beliebiges n nullmal genommen ist eins, und n n-mal genommen ist die Fakultät von n. Senden Sie einen JSON-Körper mit den erforderlichen ganzzahligen Feldern n und r. Wenn r größer als n ist, scheitert die Anfrage sofort mit invalid_input, weil man bei verbotener Wiederholung nicht mehr Elemente wählen kann, als existieren, und dieser fehlgeschlagene Aufruf wird nicht berechnet. Fehlende Felder, Nicht-Ganzzahlen, Negative und Werte über dem Limit scheitern ebenfalls mit invalid_input unter Nennung des betroffenen Feldes. Das Produkt wird als JSON-Zahl zurückgegeben, wenn es in den sicheren Ganzzahlbereich passt, andernfalls als Dezimalzeichenkette, damit Clients niemals höherwertige Stellen durch Gleitkomma-Rundung verlieren.
Wo die Zählung ohne Wiederholung genutzt, bepreist und geliefert wird
Nutzen Sie die API, wenn ein Skript, Hausaufgabenprüfer, Interview-Vorbereitungsplattform oder eine Unterrichtsseite stabiles JSON für viele Paare unter einem Vertrag braucht. Jede erfolgreiche Anfrage ist eine abrechenbare Position zu $0.002; fehlgeschlagene Validierung wird nicht berechnet.
Technische Fragen
Ist der Rechner für Permutationen ohne Wiederholung kostenlos?
Das Browser-Werkzeug läuft kostenlos auf Ihrem Gerät. API-Aufrufe nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreicher Position; Validierungsfehler werden nicht berechnet.