Endpunkt-Rechner

Der Endpunkt-Rechner löst in einem einzigen Aufruf eines der häufigsten Probleme der Koordinatengeometrie: Sie kennen einen Endpunkt einer Strecke und Sie kennen ihren Mittelpunkt, und Sie brauchen den anderen Endpunkt. Es ist die exakte Umkehrung eines Mittelpunkt-Rechners: Statt zwei Endpunkte zu mitteln, um den Mittelpunkt zu finden, verdoppelt er den Mittelpunkt und subtrahiert den bekannten Endpunkt, um den fehlenden zurückzugewinnen. Jede Koordinate wird vor jeder Rechnung als endliche Zahl validiert, sodass fehlerhafte Eingaben mit einem klaren Fehler abgelehnt werden, statt ein stilles NaN zu erzeugen.

Die Mittelpunktsformel, umgestellt

Der Mittelpunkt M einer Strecke zwischen A=(x1, y1) und B=(x2, y2) ist der Durchschnitt der Endpunkte: mx = (x1 + x2) / 2 und my = (y1 + y2) / 2. Wenn das fehlende Stück B ist und nicht M, werden dieselben zwei Gleichungen einfach nach x2 und y2 aufgelöst. Geometrisch ist das eine Spiegelung: Der Mittelpunkt ist das Symmetriezentrum der Strecke, also ist der fehlende Endpunkt das Spiegelbild des bekannten Endpunkts durch M.

Deshalb wird diese Operation manchmal als Spiegelung eines Punktes an einem anderen Punkt bezeichnet, und deshalb liegt das Ergebnis immer exakt so weit von M entfernt wie der bekannte Endpunkt, auf der gegenüberliegenden Seite. Der Rechner führt beide Umstellungen in einem Durchgang aus und liefert bekannten Endpunkt, Mittelpunkt und zurückgewonnenen Endpunkt zusammen, sodass Eingabe und Antwort ohne zweiten Aufruf nebeneinander geprüft werden können.

Validierung und numerisches Verhalten

Jede der vier Koordinaten — x1, y1, mx und my — muss vorhanden sein und eine endliche Zahl sein. Die Ergebnisse werden auf zehn Dezimalstellen gerundet, damit die Ausgabe zwischen Maschinen und Laufzeitumgebungen Byte-stabil bleibt; ein Gleitkomma-Artefakt wie 0.1 + 0.2 gelangt nie in die Antwort. Koordinaten werden bis zu einem Absolutbetrag von 1e15 akzeptiert, weit jenseits jeder praktischen Geometrie-Last, und der berechnete Endpunkt wird vor der Rückgabe selbst auf Endlichkeit geprüft.

Da die gesamte Berechnung aus vier Multiplikationen und Subtraktionen validierter Zahlen besteht, ist das Ergebnis vollständig deterministisch: Dieselbe Eingabe liefert immer dieselbe Ausgabe, ohne Zufall, ohne Uhr und ohne externen Dienst.

Wo es in der Praxis passt

Probleme mit fehlenden Endpunkten treten überall dort auf, wo Symmetrie oder Zentrierung eine Rolle spielen. In Computergrafik und CAD braucht ein an einem Drehpunkt gespiegeltes Objekt seine gespiegelten Eckpunkte, und die Spiegelung an einem Punkt ist genau diese Operation. In Vermessung und Kartierung lässt sich mit einer von einem bekannten Kontrollpunkt aus gemessenen Station und einem aufgezeichneten Mittelpunkt die ferne Station ohne zweite Anfahrt zurückgewinnen.

Im Unterricht ist es der klassische Begleiter zur Mittelpunktsformel: Schülerinnen und Schüler erhalten A und M und sollen B finden, und dieses Werkzeug dient zugleich als Antwortprüfer. In der Spieleentwicklung und Animation platziert es das Gegenstück einer Entität auf der anderen Seite eines Rotationszentrums, und in Layout-Engines vervollständigt es ein symmetrisches Paar von Ankerpunkten.