Determinante-Rechner

det(A) einer quadratischen Matrix, kostenlos

Was die Determinante über eine Matrix verrät

Die Determinante fasst eine quadratische Matrix in einer einzigen Zahl zusammen. Ist sie nicht null, lässt sich die Matrix invertieren: Das zugehörige Gleichungssystem hat genau eine Lösung, und die Spalten sind linear unabhängig. Ist sie null, ist die Matrix singulär, das System hat keine oder unendlich viele Lösungen, und die Abbildung drückt den Raum auf eine niedrigere Dimension zusammen. Das Vorzeichen zeigt, ob die Abbildung die Orientierung umkehrt, der Betrag, um welchen Faktor sich Flächen oder Volumen ändern. Deshalb begegnet Ihnen die Determinante in der Cramerschen Regel, bei der Jacobi-Determinante für einen Variablenwechsel und im charakteristischen Polynom, dessen Nullstellen die Eigenwerte sind.

Wie gerechnet wird und welche Fehler das vermeidet

Die Entwicklung nach Unterdeterminanten wächst mit jeder weiteren Zeile so stark, dass sie von Hand schon bei mittelgroßen Matrizen kaum zu schaffen ist und leicht Rechenfehler einschleppt. Hier kommt deshalb das Gaußsche Eliminationsverfahren mit Spaltenpivotsuche zum Einsatz: Die Matrix wird Zeile für Zeile in Dreiecksform gebracht, wobei jeweils der betragsgrößte Eintrag der Spalte als Pivotelement dient. Das hält die Rechnung auch bei sehr kleinen Einträgen stabil. Jeder Zeilentausch kehrt das Vorzeichen um, und am Ende ist die Determinante das Produkt der Diagonaleinträge. Das Ergebnis wird auf zwölf gültige Stellen gerundet, und statt selbst zu prüfen, ob eine Kommazahl genau null ist, sehen Sie direkt, ob die Matrix singulär ist.

Was eine Determinante aussagt

Die Determinante ist eine einzige Zahl, die eine quadratische Matrix zusammenfasst, und sie taucht überall dort auf, wo lineare Algebra im Spiel ist. Eine von null verschiedene Determinante bedeutet, dass die Matrix invertierbar ist: Das von ihr definierte lineare Gleichungssystem hat genau eine Lösung, die dargestellte Transformation erhält die Dimension, und ihre Spalten sind linear unabhängig. Eine Determinante von null bedeutet, dass die Matrix singulär ist — das System hat keine oder unendlich viele Lösungen, und die Transformation kollabiert den Raum auf eine niedrigdimensionale Ebene.

Das Vorzeichen der Determinante verrät, ob die Transformation die Orientierung umkehrt, und ihr Betrag ist der Faktor, um den Flächen, Volumina oder ihre n-dimensionalen Entsprechungen skaliert werden. Deshalb erscheinen Determinanten in Substitutionsformeln der Analysis, in der Jacobi-Matrix mehrdimensionaler Transformationen, in der Cramerschen Regel zum Lösen kleiner Systeme und im charakteristischen Polynom, dessen Nullstellen die Eigenwerte sind.

Wenn Sie diesem Determinanten-Rechner eine Matrix übergeben, erhalten Sie diese eine entscheidende Zahl, ohne eine fehleranfällige Kofaktorentwicklung von Hand durchführen zu müssen, und die Antwort kennzeichnet zudem ausdrücklich, ob die Matrix singulär ist, sodass Ihr Code darauf reagieren kann, statt selbst einen Gleitkommawert mit null zu vergleichen.

So funktioniert die Berechnung

Für alles jenseits einer 2x2-Matrix wachsen Handverfahren wie die Kofaktorentwicklung faktoriell mit der Dimension, daher nutzt diese Funktion den Algorithmus, auf den jede numerische Bibliothek setzt: Gauß-Elimination mit partieller Pivotisierung. Die Matrix wird Zeile für Zeile auf obere Dreiecksform reduziert; bei jedem Schritt wird der betragsgrößte verfügbare Eintrag der aktuellen Spalte als Pivot gewählt und bei Bedarf Zeilen vertauscht. Jeder Tausch kehrt das Vorzeichen der Determinante um, und sobald die Matrix dreieckig ist, ist die Determinante schlicht das Produkt der Diagonaleinträge, korrigiert um dieses Vorzeichen.

Partielle Pivotisierung ist kein kosmetisches Detail — sie hält die Rechnung numerisch stabil, wenn Pivots sonst winzig wären, und genau dort erzeugt naive Elimination unbrauchbare Ergebnisse. Das Resultat wird auf zwölf signifikante Stellen gerundet, damit die Ausgabe über Maschinen und Laufzeitumgebungen hinweg byteweise identisch ist. Einträge werden vor jeder Rechnung validiert: Jeder Wert muss eine endliche Zahl sein, numerische Zeichenketten werden akzeptiert, und die Matrix muss nicht leer, quadratisch und höchstens 32x32 groß sein.