Bohr-Modell-Rechner
Der Grundzustand des Wasserstoffs liegt bei −13,6 eV auf einem Bohrschen Radius, das nächste Niveau bei −3,4 eV auf vier Radien. Geben Sie eine positive ganze Quantenzahl ein und erhalten Sie Energie und Bahnradius. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- N
- 1
- Energie (eV)
- -13,6
- Bindungsenergie (eV)
- 13,6
- Radius (m)
- 0,0000000001
- Radius (Å)
- 0,5291772109
Das Bohr-Modell des Wasserstoffatoms ordnet jeder Hauptquantenzahl n eine diskrete Energie und einen kreisförmigen Bahnradius zu. Der Grundzustand n gleich eins ergibt minus 13.6 Elektronenvolt und einen Bohr-Radius; n gleich zwei ergibt minus 3.4 Elektronenvolt und vier Bohr-Radien.
Eine ganze Zahl, zwei Lehrbuchformeln
Niels Bohr stellte sich 1913 das Elektron des Wasserstoffs als Punktladung auf einer Kreisbahn vor, deren Drehimpuls nur ein ganzzahliges Vielfaches von ħ sein darf. Aus dieser einen Bedingung folgen bei einer Kernladung von eins die zwei Formeln, die jeder Einführungskurs verwendet: Die Energie ist −13,6 Elektronenvolt geteilt durch n zum Quadrat, der Radius ist n zum Quadrat mal der Bohrsche Radius. Der Grundzustand liegt also bei −13,6 eV auf einem Bohrschen Radius, der erste angeregte Zustand bei −3,4 eV auf vier Radien. Mit wachsendem n nähert sich die Energie null, der Ionisationsgrenze.
Was das Modell nicht abdeckt
Der Rechner behandelt ausschließlich das Bohrsche Wasserstoffatom. Ionen mit höherer Kernladung, Atome mit mehreren Elektronen, Feinstruktur, Lamb-Verschiebung und Photonenwellenlängen zwischen zwei Niveaus gehören nicht dazu. Null, negative und gebrochene Quantenzahlen weist er zurück, damit nie eine Bahn erfunden wird, die es nicht gibt. Das macht ihn zu einer verlässlichen Kontrolle für Hausaufgaben und für automatisch bewertete Prüfungsfragen.
Was das Bohr-Modell aus der Hauptquantenzahl berechnet
Das Modell von Niels Bohr aus dem Jahr 1913 behandelt das Wasserstoffelektron als Punktladung auf einer Kreisbahn, deren Drehimpuls ein ganzzahliges Vielfaches von ħ ist. Diese einzige Quantisierungsbedingung liefert bei festgehaltener Kernladung Z gleich eins die beiden geschlossenen Formeln, die jeder Einführungsunterricht in Chemie und Physik verwendet.
Die Energie des gebundenen Zustands ist E_n gleich minus 13.6 Elektronenvolt geteilt durch n zum Quadrat, sodass der Grundzustand n gleich eins bei minus 13.6 Elektronenvolt liegt, der erste angeregte Zustand n gleich zwei bei minus 3.4 Elektronenvolt, n gleich drei bei minus 13.6 durch neun Elektronenvolt, und die Ionisierungsgrenze für n gegen unendlich bei null. Der Radius wächst daher mit n zum Quadrat: die Bahn n gleich zwei umfasst vier Bohr-Radien, die Bahn n gleich drei neun, und Rydberg-Atome mit großem n werden nach atomaren Maßstäben makroskopisch.
Dieser Endpunkt wertet beide Formeln für eine positive ganze Zahl n aus und gibt stets die Energie in Elektronenvolt als spektroskopische Leitgröße zurück, plus den Radius in Metern und Ångström, damit ein Heft beide Konventionen zitieren kann. Mehr-Elektronen-Atome, Feinstruktur, Lamb-Verschiebung, reduzierte-Masse-Korrekturen jenseits der Unterrichtskonstante 13.6 Elektronenvolt und Photonenwellenlängen zwischen zwei Niveaus behandelt er nicht; das sind andere Suchabsichten. Wasserstoffähnliche Ionen mit Z größer als eins liegen ebenfalls außerhalb: diese Seite ist nur das Bohr-Wasserstoffatom.
Anwendungsfälle
Unterrichts- und Hausaufgabenprüfung
Lassen Sie Lernende eine Hauptquantenzahl n einreichen und die Wasserstoffenergie in Elektronenvolt sowie den Bahnradius an den Bohr-Verfahren des Lehrbuchs prüfen.
Automatische Klausur- und LMS-Bewertung
Bewerten Sie Bohr-Modell-Aufgaben mit einem deterministischen Orakel, das nicht ganzzahliges oder nicht positives n zurückweist und niemals eine gebrochene Bahn erfindet.
Häufige Fragen
Was geschieht, wenn n keine positive ganze Zahl ist?
Null, negative und nicht ganzzahlige Werte sind keine zulässigen Hauptquantenzahlen und werden nicht berechnet.
Wie wächst der Bahnradius mit n?
Mit dem Quadrat von n, die Bahn für n gleich 3 ist also schon neun Bohrsche Radien groß. Ein Bohrscher Radius entspricht 0,529 Ångström oder 5,29177210903 × 10⁻¹¹ Metern.
Wie viel Energie braucht man, um Wasserstoff aus dem Grundzustand zu ionisieren?
13,6 Elektronenvolt. Der Grundzustand liegt bei −13,6 eV, die Ionisationsgrenze bei unbegrenzt wachsendem n bei null; das Ergebnis nennt zusätzlich die Bindungsenergie des Niveaus als positive Zahl.
Funktioniert der Rechner auch für Heliumionen oder Atome mit mehreren Elektronen?
Nein. Er behandelt nur das Bohrsche Wasserstoffatom mit einer Kernladung von eins. Wasserstoffähnliche Ionen, Mehrelektronenatome, Feinstruktur, Lamb-Verschiebung und Photonenwellenlängen zwischen Niveaus liegen außerhalb seines Umfangs.
Welche Quantenzahl darf ich höchstens eingeben?
Jede ganze Zahl von 1 bis 10.000. Große Werte beschreiben Rydberg-Atome, deren Bahnen nach atomaren Maßstäben makroskopisch werden; null, negative und gebrochene Zahlen werden abgelehnt.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/phys/bohr-model \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":1}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/phys/bohr-model", {
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
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"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
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req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/phys/bohr-model", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"n": 1
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "phys.bohr_model",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Limits
max_n | 10000 |
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Dieser Rechner nimmt jene positive ganze Zahl entgegen und liefert die Energie des gebundenen Zustands in Elektronenvolt zusammen mit dem Bahnradius in Metern und Ångström, nach den Unterrichtsformeln E_n gleich minus 13.6 Elektronenvolt durch n zum Quadrat und r_n gleich n zum Quadrat mal Bohr-Radius a₀. Null, negative und nicht ganzzahlige Quantenzahlen werden mit invalid_input zurückgewiesen, weil sie keine zulässigen Hauptquantenzahlen sind.
Was das Bohr-Modell aus der Hauptquantenzahl berechnet
Der Bahnradius ist r_n gleich n zum Quadrat mal Bohr-Radius a₀, wobei a₀ 5.29177210903 mal zehn hoch minus elf Meter beträgt, oder 0.529177210903 Ångström.
Eingabevertrag, Antwortform und Fehlerverhalten
Kombinieren Sie die Zahlen mit Ihrem eigenen Niveaudiagramm, falls Sie eine Skizze brauchen; diese Funktion löst nur die beiden geschlossenen Formen und gibt weder Plots noch Balmer-Serien-Wellenlängen noch Schritt-für-Schritt-Prosa jenseits des Feldes formula aus. Senden Sie einen JSON-Körper mit einem Pflichtfeld: n, der Hauptquantenzahl, die eine positive ganze Zahl von eins bis zehntausend sein muss. Die Aliasse principal_quantum_number, quantum_number und principal_n werden akzeptiert und bedeuten dasselbe. Gültig sind JSON-Zahlen, die exakte ganze Zahlen sind, sowie dezimalfreie Zahlzeichenketten wie "2"; Werte wie null, minus eins, 1.5, leere Zeichenketten und nicht numerischer Text scheitern mit invalid_input unter Nennung von n. Dieser Fehlschlag wird nicht berechnet. Bei Erfolg wiederholt der Körper n; energy_ev, die vorzeichenbehaftete Energie des gebundenen Zustands in Elektronenvolt; binding_energy_ev, die positive Ionisierungsenergie aus diesem Niveau, gleich 13.6 durch n zum Quadrat Elektronenvolt; radius_m und radius_angstrom für den Bahnradius; die Konstanten rydberg_energy_ev gleich 13.6 und bohr_radius_m; formula als kurze ASCII-Identität; und unit_energy plus unit_radius gesetzt auf eV und m. Klassische Prüfungen: n gleich eins liefert energy_ev minus 13.6 und Radius eines Bohr-Radius; n gleich zwei liefert energy_ev minus 3.4 und Radius von vier Bohr-Radien.
Wo ein Bohr-Modell-Rechner sich lohnt
Unterrichtsräume und Tutorienplattformen nutzen einen Bohr-Modell-Rechner, damit Lernende Wasserstoffenergien und -radien für beliebiges n prüfen können, ohne den Faktor n zum Quadrat im Nenner der Energie mit dem Zähler des Radius zu verwechseln. Prüfungsgeneratoren und LMS-Erweiterungen brauchen ein deterministisches Orakel, das eine eingereichte Dezimalzahl oder eine Null-Quantenzahl als falsch markiert, statt still eine unphysikalische Bahn zurückzugeben. Eine fehlgeschlagene Prüfung wird nicht berechnet. Spektroskopie-Einführungen und Laborhefte des ersten Jahres tabellieren oft E_n in Elektronenvolt neben r_n in Ångström, wenn Linienspektren eingeführt werden; der Aufruf einer kleinen parse-API erspart den Aufbau eines ganzen Quantenchemie-Stapels für zwei Schulformeln. Weil die Umsetzung parse der Stufe A ist, kostet jeder erfolgreiche Aufruf den veröffentlichten Grundpreis $0.002 ohne Modell-Token und ohne ausgehendes Netz. Halten Sie n unter der veröffentlichten Obergrenze von zehntausend, pinnen Sie gerundetes energy_ev in Tests, und Sie erhalten reproduzierbare Bohr-Zahlen des Wasserstoffs für Hausaufgaben, Bewertungspipelines und Rand-Worker, ohne ein eigenes symbolisches Algebrasystem aufzustellen.
Integrationsbeispiele
Laborhefte und Spektroskopie-Einführungen
Tabellieren Sie E_n in eV und r_n in Metern oder Ångström für Wasserstoffniveaus, ohne eine Quantenchemie-Bibliothek zu importieren.
Technische Fragen
Wie berechnet man Bohr-Energieniveaus des Wasserstoffs aus n?
Senden Sie eine positive ganze Hauptquantenzahl n. Die API liefert E_n = −13.6 / n² Elektronenvolt (energy_ev) zusammen mit dem passenden Bahnradius.
Welchen Bahnradius liefert das Bohr-Modell?
r_n = n² a₀, mit a₀ = 5.29177210903×10⁻¹¹ m (etwa 0.529 Å). Die Antwort enthält radius_m und radius_angstrom.
Welche Energie liefern n = 1 und n = 2?
Der Grundzustand n = 1 liefert −13.6 eV und einen Bohr-Radius. Der erste angeregte Zustand n = 2 liefert −3.4 eV und vier Bohr-Radien.
Was kostet der Bohr-Modell-Rechner?
Das Browser-Werkzeug ist kostenlos. API-Anfragen nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 je erfolgreichem Aufruf; ungültige Eingabe wird nicht berechnet.