Biot-Zahl-Rechner

Die Biot-Zahl ist das dimensionslose Verhältnis, das Ihnen zeigt, ob sich ein Festkörper gleichmäßig erwärmt oder abkühlt oder ob nennenswerte innere Temperaturgradienten entstehen. Sie ist definiert als Wärmeübergangskoeffizient h mal charakteristische Länge L geteilt durch die Wärmeleitfähigkeit k des Festkörpers: Bi gleich h mal L durch k. Eine kleine Biot-Zahl bedeutet, dass die Konvektion an der Oberfläche der Engpass ist und die Leitung im Inneren im Vergleich schnell abläuft, sodass das klassische Lumped-Capacitance-Verfahren gilt; eine große Biot-Zahl bedeutet, dass der innere Leitungswiderstand dominiert und Sie eine vollständige instationäre Leitungslösung benötigen. Dieser Biot-Zahl-Rechner akzeptiert h, L und k in jedem konsistenten Einheitensystem, weist eine verschwindende oder negative Wärmeleitfähigkeit als undefiniert zurück und liefert die dimensionslose Biot-Zahl zusammen mit einem Gültigkeitskennzeichen für das übliche Kriterium Bi kleiner als 0.1. Nutzen Sie ihn, bevor Sie zwischen einem konzentrierten und einem verteilten Leitungsmodell wählen.

Was die Biot-Zahl misst und warum sie wichtig ist

Die Biot-Zahl vergleicht zwei Wärmewiderstände: den Leitungswiderstand im Inneren des Festkörpers, der wie L durch k skaliert, und den Konvektionswiderstand an seiner Oberfläche, der wie 1 durch h skaliert. Ihr Verhältnis Bi gleich h mal L durch k misst daher, wie viel schwieriger es für die Wärme ist, die Oberfläche zu verlassen, als durch den Körper zu wandern.

Ist Bi klein, typischerweise unter einem Zehntel, verteilt sich die Wärme im Festkörper deutlich schneller, als sie die Oberflächengrenze überquert, sodass die Innentemperatur zu jedem Zeitpunkt praktisch gleichmäßig bleibt und der gesamte Körper mit einer einzigen Temperatur über der Zeit verfolgt werden kann. Dies ist die Grundlage des Lumped-Capacitance-Verfahrens, dessen exponentielle Lösung das erste instationäre Ergebnis ist, das in jeder Wärmeübertragungsvorlesung gelehrt wird.

Ist Bi groß, reagiert die Oberfläche nahezu sofort auf das Fluid, während der Kern hinterherhinkt, die inneren Gradienten sind steil, und nur ein verteiltes instationäres Leitungsmodell wie die Ein-Term-Näherung oder Heisler-Diagramme liefert verlässliche Antworten. Die Wahl des falschen Regimes verfälscht stillschweigend jede nachfolgende Temperatur- und Zeitprognose, daher bewerten Ingenieure und Studierende die Biot-Zahl, bevor sie ein instationäres Kühl- oder Heizmodell wählen.

Eingaben, Validierungsregeln und der Antwortvertrag

Alle drei Felder sind Pflichtfelder. Eine verschwindende oder negative Wärmeleitfähigkeit scheitert mit einer Meldung, die erklärt, dass k positiv sein muss, weil die Biot-Zahl durch k teilt, sodass Clients einen Eingabefehler korrigieren können, statt ein undefiniertes Verhältnis zu erhalten. Ein negativer Wärmeübergangskoeffizient oder eine negative charakteristische Länge wird ebenfalls als unphysikalisch für dieses Modell zurückgewiesen, während Nullwerte akzeptiert werden und eine Biot-Zahl von null ergeben.

Eine klassische Lehrbuchprüfung ist eine Stahlkugel an Luft mit h etwa 25 Watt pro Quadratmeter pro Kelvin, charakteristischer Länge 0.05 Meter und k etwa 15 Watt pro Meter pro Kelvin, was eine Biot-Zahl nahe 0.083 ergibt, bei der das konzentrierte Modell gültig ist. Nutzen Sie das kostenlose Browser-Formular für Laborberichte und schnelle Plausibilitätsprüfungen und rufen Sie dann denselben Vertrag aus Skripten für die Massenauswertung über Materialtabellen auf. Halten Sie h, L und k in einem konsistenten Einheitensystem, damit das dimensionslose Verhältnis aussagekräftig bleibt.

Die charakteristische Länge wählen und das Ergebnis anwenden

Die häufigste Fehlerquelle bei der Arbeit mit der Biot-Zahl ist die Wahl der charakteristischen Länge. Für das Lumped-Capacitance-Kriterium ist die Standarddefinition das Volumen des Festkörpers geteilt durch die Oberfläche, über die die Konvektion stattfindet, weil dieses Verhältnis die thermische Masse pro Einheit des konvektiven Austauschs erfasst. Für eine Kugel mit Radius R beträgt das Verhältnis von Volumen zu Fläche R durch drei; für einen langen Zylinder R durch zwei; für eine beidseitig gleichmäßig gekühlte Platte die halbe Plattendicke.

Einige Lehrbücher verwenden stattdessen die maximale Leitungsweglänge, was für eine Kugel dreimal größere Werte liefert; dokumentieren Sie daher stets, welcher Konvention Ihre Kombination aus h, L und k folgt, bevor Sie mit der Schwelle 0.1 vergleichen.

Typische Koeffizienten schärfen die Intuition: natürliche Konvektion in ruhender Luft ergibt h zwischen etwa 5 und 25, erzwungene Luft zwischen 50 und 1000 und strömendes Wasser deutlich über 1000 Watt pro Quadratmeter pro Kelvin; deshalb treibt das Abschrecken eines Teils in Wasser die Biot-Zahl weit höher als das Kühlen an Luft, selbst bei unveränderter Geometrie. Tabellenkalkulations-Makros implementieren die Division oft mit stillen Einheitenfehlern zwischen Millimetern und Metern neu; eine einzige vertrauenswürdige Referenz reduziert Copy-Paste-Fehler über Teams hinweg.

Wenn Sie den instationären Temperaturverlauf selbst, die Fourier-Zahl oder den Wärmestrom durch eine Wand benötigen, behandeln Sie diese als separate Rechner mit eigenen Eingaben und Landings.