Rechner für den Wert einer Akkumulationsfunktion
3x² − 2 von 1 bis 3 akkumuliert ergibt genau 22: Die Stammfunktion ist oben 21 und unten −1. Geben Sie Koeffizienten und beide Grenzen ein und erhalten Sie die vorzeichenbehaftete Summe Schritt für Schritt. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- Koeffizienten
- 3, 0, -2
- Untergrenze
- 1
- Obergrenze
- 3
- Wert
- 22
- Grad
- 2
- Koeffizienten der Stammfunktion
- 1, 0, -2, 0
- Stammfunktion an der unteren Grenze
- -1
Eine Akkumulationsfunktion misst den vorzeichenbehafteten Gesamtwert einer Funktion zwischen einem festen Startpunkt und einem veränderlichen Endpunkt. Dieser Rechner bestimmt ihn für ein durch Koeffizienten dargestelltes Polynom. Geben Sie die Koeffizienten nach fallenden Potenzen, die feste Untergrenze und den auszuwertenden oberen Wert ein. Die Ausgabe enthält Grad, Stammfunktionskoeffizienten, beide Randwerte und deren Differenz. Damit können Sie Aufgaben kontrollieren, Beispiele vorbereiten oder deterministische Berechnungen in Software prüfen.
Polynom und beide Grenzen richtig eingeben
Schreiben Sie das Polynom als Koeffizientenfeld von der höchsten Potenz bis zum konstanten Glied. Beispielsweise bedeutet [3, 0, -2] das Polynom 3x² - 2. Die mittlere Null hält die Stelle des fehlenden x-Glieds frei; ohne sie entstünde ein anderes Polynom.
Ein Feld mit einem Wert beschreibt eine konstante Funktion. Beide dürfen positiv, negativ oder gleich sein, müssen jedoch endliche Zahlen darstellen. Auch eine kleinere Obergrenze ist zulässig: Die umgekehrte Orientierung wechselt das Vorzeichen, gleiche Grenzen ergeben null.
Erlaubt sind 1 bis 1001 endliche Koeffizienten. Die Zahlendarstellung vermeidet Zweideutigkeiten bei Potenzen, Klammern und fehlenden Gliedern. Im Feld coefficients erscheint das angenommene Polynom erneut, damit Sie Reihenfolge und Grad vor der Auswertung kontrollieren können.
Die analytische Akkumulationsrechnung nachvollziehen
Für A(x) = ∫ von a bis x über p(t) dt bildet der Rechner zuerst eine Stammfunktion F. Jedes Glied c·tⁿ wird zu c geteilt durch n + 1, multipliziert mit t hoch n + 1. Dezimalwerte beruhen auf der endlichen JavaScript-Genauigkeit und werden für eine stabile Ausgabe normalisiert.
Überschreitet eine Zwischenpotenz den unterstützten Zahlenbereich, wird die Anfrage abgewiesen, statt einen unendlichen oder irreführenden Wert auszugeben.
Vorzeichen, Einheiten und Endpunkt deuten
Der Rückgabewert ist eine vorzeichenbehaftete Akkumulation und nicht zwangsläufig eine geometrische Fläche. Unterhalb der waagerechten Achse trägt das Polynom negativ, oberhalb positiv bei; beide Anteile können einander aufheben. Für die gesamte geometrische Fläche teilen Sie das Intervall an jeder reellen Nullstelle und addieren die Beträge der einzelnen Integrale.
Die Ableitung der Akkumulationsfunktion ist das ursprüngliche Polynom: A steigt bei positivem p und fällt bei negativem p. Einheiten werden wie bei jedem bestimmten Integral multipliziert. Vertauschte Grenzen negieren das Ergebnis, gleiche Grenzen liefern null.
Anwendungsfälle
Eine Analysisaufgabe prüfen
Kontrollieren Sie den Wert einer polynomialen Akkumulationsfunktion und beide Stammfunktionswerte.
Eine Wertetabelle erstellen
Behalten Sie Polynom und feste Grenze bei und berechnen Sie die Funktion für mehrere Obergrenzen.
Integrationscode testen
Vergleichen Sie ein Programmergebnis mit einer deterministischen, koeffizientenbasierten Referenz.
Häufige Fragen
Was bedeutet das Koeffizientenfeld?
Die Werte folgen fallenden Potenzen. [2, 0, -5] bedeutet 2x² - 5; die Null erhält das fehlende lineare Glied.
Darf die Obergrenze kleiner sein?
Ja. Das Integral ist orientiert; vertauschte Endpunkte ergeben das Negative des vorwärts berechneten Werts.
Ist das Ergebnis die geometrische Fläche?
Nicht immer. Es ist eine vorzeichenbehaftete Akkumulation, sodass Bereiche unter der Achse abgezogen werden.
Warum endet die Stammfunktion mit null?
Der Rechner wählt die Integrationskonstante null. Jede andere Konstante würde sich bei der Randwertsubtraktion aufheben.
Wie gebe ich die Koeffizienten richtig ein?
Von der höchsten Potenz bis zum konstanten Glied, mit einer Null für jede fehlende Potenz. 3, 0, −2 steht also für 3x² − 2; ohne die Null in der Mitte wäre es ein anderes Polynom. Ein einzelner Wert ist eine Konstante.
In welcher Einheit steht das Ergebnis?
Einheiten multiplizieren sich wie bei jedem bestimmten Integral. Misst das Polynom eine Rate in Einheiten pro Sekunde und sind die Grenzen in Sekunden angegeben, steht der akkumulierte Wert in Einheiten.
Wie kann ich das Ergebnis überprüfen?
Die Ableitung der Akkumulationsfunktion ist wieder das ursprüngliche Polynom. Die Funktion muss also dort steigen, wo das Polynom positiv ist, und dort fallen, wo es negativ ist. Die angezeigte Stammfunktion erlaubt zudem eine Rechnung von Hand.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/accumulation-function \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"coefficients":[3,0,-2],"lower_bound":1,"upper_bound":3}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/accumulation-function", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"coefficients": [
3,
0,
-2
],
"lower_bound": 1,
"upper_bound": 3
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/calculus/accumulation-function",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"coefficients": [
3,
0,
-2
],
"lower_bound": 1,
"upper_bound": 3
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/accumulation-function", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"coefficients":[3,0,-2],"lower_bound":1,"upper_bound":3}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[3,0,-2],"lower_bound":1,"upper_bound":3}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/accumulation-function", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"coefficients": [
3,
0,
-2
],
"lower_bound": 1,
"upper_bound": 3
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "calculus.accumulation_function",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Polynom und beide Grenzen richtig eingeben
Verwenden Sie lower_bound als festen Startpunkt und upper_bound als veränderlichen Endpunkt.
Die analytische Akkumulationsrechnung nachvollziehen
Eine Nullkonstante wird ergänzt, weil sich jede Konstante bei der Subtraktion der Randwerte aufhebt. antiderivative_coefficients zeigt dieses Polynom nach fallenden Potenzen. Anschließend wertet ein begrenzter Horner-ähnlicher Durchlauf F bei upper_bound und lower_bound aus und zieht den zweiten Wert vom ersten ab. value entspricht somit antiderivative_at_upper minus antiderivative_at_lower. Das ist eine unmittelbare Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung, ohne Stichproben oder numerische Quadratur.
Vorzeichen, Einheiten und Endpunkt deuten
Die Untergrenze verankert eine vollständige Akkumulationsfunktion, upper_bound wählt daraus einen Wert. Für mehrere Punkte behalten Sie coefficients und lower_bound bei und ändern nur die Obergrenze. Die Browserberechnung ist kostenlos; für eine API-Anfrage gilt der veröffentlichte Grundpreis von $0.002.
Technische Fragen
Was kostet eine Berechnung über die API?
Jede API-Anfrage kostet $0.002. Der Rechner lässt sich außerdem lokal im Browser ausführen.