Flächenmoment bezüglich der x-Achse berechnen

Dieser Rechner für das Moment einer Fläche bezüglich der x-Achse bestimmt das erste Moment einer Region, die durch eine obere Polynomkurve, die x-Achse und zwei senkrechte Intervallgrenzen festgelegt ist. Geben Sie die Koeffizienten von f(x) in absteigender Potenzreihenfolge sowie die untere und obere Grenze ein. Der Rechner quadriert das Polynom, integriert das Ergebnis gliedweise und multipliziert es mit einem Halb. Ausgegeben werden das Moment und der Grad des ursprünglichen Polynoms als strukturierte Werte, mit denen Sie Aufgaben prüfen oder eine Schwerpunktberechnung fortsetzen können.

Beschreiben Sie Kurve und Intervall eindeutig

Schreiben Sie die Begrenzungskurve zunächst als Polynom f(x) und geben Sie die Koeffizienten von der höchsten Potenz bis zum konstanten Glied ein. Setzen Sie für jede fehlende Potenz eine Null ein: x hoch drei minus 2x wird als [1, 0, -2, 0] dargestellt. Diese geordnete Form vermeidet Mehrdeutigkeiten, die bei Formeltext durch Exponentenzeichen, implizite Multiplikation, Variablennamen oder Klammern entstehen können.

Geben Sie danach die untere und obere Grenze des geschlossenen Intervalls an; die obere muss strikt größer sein. Gemeint ist eine Fläche zwischen der Kurve und der x-Achse, die an beiden Enden durch senkrechte Linien abgeschlossen wird. Obwohl das Quadrieren das Integral auch bei einem Vorzeichenwechsel von f nichtnegativ macht, setzt eine Fläche unter einer Kurve normalerweise voraus, dass die gewählte Grenze im gesamten Intervall passt.

Prüfen Sie ein Diagramm oder mehrere Funktionswerte, wenn das Polynom die Achse schneidet. Trennen solche Schnittpunkte verschiedene Flächen, wählen Sie die Grenzen genau für die gewünschte Region. Koeffizienten und Grenzen müssen endlich sein; höchstens hundert Koeffizienten sind zulässig.

Verstehen Sie die Formel mit dem halben Funktionsquadrat

Für einen dünnen senkrechten Streifen an der Stelle x, der von y gleich null bis y gleich f(x) reicht, entsteht das Moment bezüglich der x-Achse, indem zuerst y über den Streifen und anschließend über x integriert wird. Die innere Rechnung ergibt die Hälfte von f(x) zum Quadrat; vollständig lautet der Ausdruck daher Mx = ein Halb des Integrals von a bis b über [f(x)] zum Quadrat dx. Der Rechner führt diesen Vorgang für Polynome analytisch aus.

Zuerst multipliziert er die Koeffizientenliste mit sich selbst und erhält so ohne Stichproben oder numerische Quadratur die Koeffizienten des quadrierten Polynoms. Danach integriert er jedes Monom mit der Potenzregel, wertet die Stammfunktion an beiden Intervallgrenzen aus, zieht den unteren Wert vom oberen ab und teilt die Summe durch zwei. Ist f(x) gleich x, ergibt das Quadrat x zum Quadrat; das Moment von null bis zwei beträgt die Hälfte von acht Dritteln, also vier Drittel.

Netzwerk, Zufall, Uhrzeit und gespeicherter Zustand spielen keine Rolle.

Nutzen Sie das Ergebnis für Flächen- und Schwerpunktaufgaben

Wenn x und f(x) dieselbe Längeneinheit verwenden, besitzt er die Dimension Länge hoch drei. Diese Unterscheidung ist wichtig, wenn Sie anschließend die senkrechte Schwerpunktkoordinate berechnen: Bestimmen Sie die gewöhnliche Fläche A als Integral von f(x) und verwenden Sie dann y-bar = Mx geteilt durch A, sofern Geometrie und Einheiten zusammenpassen. Der Rechner erschließt keine Einheiten, sucht keine Schnittpunkte, liest keine symbolischen Ausdrücke, zeichnet keine Kurve und berechnet Fläche oder Schwerpunkt nicht automatisch.

Diese Schritte verlangen eigene Entscheidungen, die in einer Lösung sichtbar bleiben sollten. Ein negativer Polynomwert macht die Formel wegen des Quadrats nicht negativ, kann aber auf ein unpassendes Intervall hinweisen. Sehr große Grade, Koeffizienten oder Grenzen können den endlichen Zahlenbereich von JavaScript überschreiten; dann wird die Anfrage abgelehnt, statt unendlich zurückzugeben.